Corrigé Centrale 2026 Physique 1 PC — Partie B.I (Q23 à Q33) : Spin coating : écoulement de Stokes en référentiel tournant

Sujet officiel du concours Centrale, session 2026, épreuve Physique 1 PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Enduction centrifuge (figure 4) : une goutte de solution déposée sur un substrat (1) est étalée par la mise en rotation de la tournette (2), puis amincie à vitesse angulaire constante $ω$ (3) ; le solvant s'évapore enfin (4). On étudie l'étalement pendant la rotation uniforme.

Figure 4 — Étapes de l'enduction centrifuge.

Liquide : $μ = 1, 06 g \cdot c m^{- 3}$ , $η = 3, 6 \times 1 0^{- 2} Pa \cdot s$ ; $ω = 2000 tr \cdot mi n^{- 1}$ pendant $T = 30 s$ . Substrat de rayon $R_{m a x} = 10 cm$ ; goutte de révolution autour de $(O z)$ , de hauteur au centre $h_{0} = 0, 5 mm$ et de rayon $R_{0} = 5 mm$ à $t = 0$ ( $h_{0} ≪ R_{0}$ , interface de faible pente). Étude dans le référentiel du plateau, en coordonnées cylindriques : $v = v_{r} e_{r} + v_{θ} e_{θ} + v_{z} e_{z}$ . Navier-Stokes : $μ [\frac{\partial v}{\partial t} + (v \cdot grad) v] = f_{vol} - grad p + η Δ v$ .

Figure 5 — Goutte liquide sur le substrat (à $t = 0$ , puis à $t$ ).

Q23. Interpréter chaque terme de Navier-Stokes ; forces volumiques dans le référentiel du plateau.
Q24. Montrer par ordre de grandeur que le terme centrifuge l'emporte sur celui de Coriolis.
Q25. Justifier $v_{θ} = 0$ et l'indépendance en $θ$ .
Q26. Par l'incompressibilité, montrer $v ≃ v_{r} (r, z, t) e_{r}$ .
Q27. Comparer les termes de $(Δ v) \cdot e_{r}$ ; lequel domine ?
Q28. Nombre de Reynolds : définition, valeur, simplification.
Q29. Justifier que l'écoulement est quasi-stationnaire.
Désormais : pression uniforme dans la goutte, pesanteur négligée.
Q30. En déduire $\frac{\partial ^{2} v _{r}}{\partial z ^{2}} = - \frac{μ ω ^{2} r}{η}$ (12)
Q31. Condition en $z = 0$ ; justifier $(\partial v_{r} / \partial z)_{z = h} = 0$ .
Q32. Exprimer $v_{r}$ .
Q33. En déduire le débit volumique sortant d'un cylindre de rayon $r$ et de hauteur $h (r, t)$ : $Q (r, t) = \frac{2 π μ ω ^{2} r ^{2}}{3 η} h (r, t)^{3}$ (13)

Corrigé

Q23. Le référentiel $R^{'}$ lié au plateau est en rotation uniforme, à la vitesse angulaire $ω$ , autour de l'axe fixe $(O z)$ du référentiel terrestre, supposé galiléen : $R^{'}$ n'est pas galiléen. Termes de l'équation de Navier-Stokes (par unité de volume) :

$μ \partial v / \partial t$ : accélération locale (instationnarité de l'écoulement) ;
$μ (v \cdot grad) v$ : accélération convective (non linéaire), liée au déplacement de la particule de fluide dans un champ de vitesses non uniforme ; la somme des deux termes est $μ d v / d t$ , la masse volumique fois l'accélération particulaire ;
$- grad p$ : résultante volumique des forces de pression ;
$η Δ v$ : résultante volumique des forces de viscosité (diffusion de quantité de mouvement) ;
$f_{vol}$ : forces volumiques, qui sont ici le poids volumique $μ g = - μg e_{z}$ , la force d'inertie d'entraînement volumique (« centrifuge ») $- μ ω \land (ω \land O M) = μ ω^{2} r e_{r}$ (avec $ω = ω e_{z}$ ), et la force d'inertie de Coriolis volumique $- 2 μ ω \land v$ .

Ce que le correcteur attend : les deux forces d'inertie, avec leur signe (centrifuge vers l'extérieur).

Q24. Rapport des normes : $\frac{2 μ ω v}{μ ω ^{2} r} = \frac{2 v}{ω r}$ , où $v$ est la vitesse du liquide relative au plateau et $ω r$ la vitesse d'entraînement. Ordre de grandeur : le liquide s'étale de $R_{0} = 5 mm$ à quelques centimètres pendant $T = 30 s$ , soit $v \sim r / T$ , d'où

$\frac{f _{Coriolis}}{f _{centrifuge}} \sim \frac{2}{ω T} = \frac{2}{209 \times 30} \approx 3 \times 1 0^{- 4} ≪ 1 (ω = 2000 \times 2 π /60 = 209 rad \cdot s^{- 1}) .$

Le liquide parcourt en $30 s$ une distance de l'ordre de $R$ , alors que le plateau fait $1000$ tours : le terme centrifuge est prépondérant et l'on néglige la force de Coriolis.

Réserve. Une échelle de vitesse plus fine s'obtient en équilibrant force centrifuge et cisaillement visqueux sur l'épaisseur (Q27, Q32) : $v \sim μ ω^{2} r h^{2} / η$ , d'où un rapport $2 μ ω h^{2} / η = 2 (h / δ)^{2}$ avec $δ = η / (μ ω) = ν / ω \approx 0, 40 mm$ ( $ν = η / μ = 3, 4 \times 1 0^{- 5} m^{2} \cdot s^{- 1}$ ). Il vaut $\approx 3$ à $t = 0$ ( $h_{0} = 0, 5 mm$ ), mais $\approx 0, 1$ dès $h \approx 0, 1 mm$ ( $t \approx 0, 06 s$ , Q39) et $\approx 3 \times 1 0^{- 4}$ pour le film micrométrique : l'approximation est excellente sur toute la durée $T$ , sauf les premières dizaines de millisecondes.

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