Corrigé Centrale 2026 Physique 1 PC — Partie B.II et B.III (Q34 à Q39) : Spin coating : bilan de masse, amincissement du film

On reprend le film liquide de la partie B.I (masse volumique $\mu$, viscosité $\eta$, rotation $\omega$), dont le débit volumique sortant d'un cylindre de rayon $r$ et de hauteur $h(r,t)$ est $Q(r,t)=\frac{2\pi \mu {\omega }^2{r}^2}{3\eta }h(r,t{)}^3$ (13). Système ouvert : le liquide compris entre les cylindres de rayons $r$ et $r+\mathrm{d}r$ (figure 6).

Figure 6 — Bilan de masse. Vue de dessus et vue de profil.

Q34. Variation ${\mathrm{d}}^{2}m(r,t)$ de la masse du système ouvert entre $t$ et $t+\mathrm{d}t$.
Q35. Masses $\delta m_e(r,t)$ et $\delta m_e(r+\mathrm{d}r,t)$ entrant par les surfaces en $r$ et en $r+\mathrm{d}r$, puis ${\delta }^2{m}_e$ (en fonction de $\mu$, $\mathrm{d}r$, $\mathrm{d}t$, $Q$).
Q36. Démontrer $\frac{\partial h}{\partial t}=-\frac{\mu {\omega }^2}{\eta }\left[\frac{2}{3}{h}^3+r{h}^2\frac{\partial h}{\partial r}\right]$ (14)
Modèle simplifié (figure 7) : la goutte reste un cylindre de hauteur uniforme $h(t)$ et de rayon $r(t)$, avec $h(0)=h_0=0,5\mathrm{mm}$ et $r(0)=R_0=5\mathrm{mm}$.

Figure 7 — Modèle d'une goutte cylindrique.

Q37. Loi $h(t)$ ; introduire un temps caractéristique $\tau$.
Q38. Rayon $r(t)$.
Q39. Calculer $\tau$ ($\mu =1,06\mathrm{g}\cdot \mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$, $\eta =3,6\times 10^{-2}\mathrm{Pa}\cdot \mathrm{s}$, $\omega =2000\mathrm{tr}\cdot \mathrm{mi}{\mathrm{n}}^{-1}$) et l'épaisseur du film après $T=30\mathrm{s}$.