Corrigé Centrale 2026 Physique 1 PC — Partie C (Q40 à Q50) : Épaisseur d'une bulle par interférences à ondes multiples

Sujet officiel du concours Centrale, session 2026, épreuve Physique 1 PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Bulle hémisphérique d'huile de silicone (indice $n = 1, 4$ ), de rayon $r_{0} = 12 mm$ ; la gravité draine son film, d'épaisseur $h (θ, t) ≪ r_{0}$ , qui s'amincit au sommet. Un faisceau parallèle ( $λ = 589, 3 nm$ ) la traverse vers une caméra (figure 9). La photographie (figure 8) montre des franges très fines et contrastées sur le pourtour de la bulle.

Figure 9 — L'expérience, vue de profil et vue en coupe de dessus.

Localement, le film est une lame à faces parallèles (figure 10) : incidence $α$ , réfraction $β$ , rayons émergents $s_{k}$ interférant à l'infini. Coefficients en amplitude $r$ , $t$ réels positifs, $r^{2} + t^{2} = 1$ . Mesure le long d'un arc de rayon $0, 995 r_{0}$ , où $α = 84, 2^{\circ}$ .

Figure 10 — Lame liquide à faces parallèles (bulle et agrandissement).

Onde $k$ ( $2 (k - 1)$ réflexions) : $s_{k} = S_{k} exp [i (ω t - φ_{k})]$ .
Q40. Montage réalisant un faisceau parallèle.
Q41. Valeur de $β$ ; la lumière pénètre-t-elle toujours dans le film ? Angle d'émergence.
Q42. Déphasage $φ = φ_{k + 1} - φ_{k}$ en fonction de $n$ , $h$ , $β$ , $λ$ .
Q43. Exprimer $s_{k}$ avec $s_{1}$ , $φ$ , $r$ ; en déduire $s = \sum_{k} s_{k} = s_{1} / [1 - r^{2} exp (- i φ)]$ (15)
Q44. Montrer $I = s s^{*} = I_{0} / [1 + m sin^{2} (φ /2)]$ (16) ; exprimer $m$ avec $r^{2}$ .

Figure 11 — Fonction de transmission du film ( $m = 11$ ).

Q45. Valeurs de $φ$ donnant le maximum $I_{m a x}$ ; commenter.
Q46. Épaisseurs $h$ des franges brillantes ; écart $Δ h$ entre deux franges brillantes.
Q47. Contraste $C$ en fonction de $r$ .
Q48. Largeur à mi-hauteur $Δ φ_{1/2}$ du pic en $φ = 0$ , pour $m ≫ 1$ .

Figure 12a — Coordonnées sphériques $(r_{0}, θ, ϕ)$ ; abscisse curviligne $s = r_{0} θ$ .

Photographies 12b à 12e : une frange brillante née au sommet à $t = 0$ glisse vers la base ; à $220 s$ la dernière frange brillante naît au sommet ; à $370 s$ un « film noir » (épaisseur quasi nulle) y apparaît avant l'éclatement.

Figure 13 — Coefficient de réflexion en intensité $R = r^{2}$ (lumière non polarisée).

Q49. Expliquer les observations ; protocole de mesure de $h (θ, t)$ .
Q50. À l'aide du tableau 1 ( $t = 220 s$ ), montrer que $h (θ) = h_{0} cos^{- ℓ} (θ)$ (17) et déterminer $ℓ > 0$ .

Frange brillante	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$θ$ ( $^{\circ}$ )	$0$	$28, 4$	$35, 2$	$39, 3$	$42, 0$	$44, 1$	$45, 8$	$47, 2$	$48, 3$

Tableau 1 — Position angulaire des franges brillantes à $t = 220 s$ .

Corrigé

Q40. On forme l'image de la source étendue (lampe à vapeur de sodium) sur un petit diaphragme $D$ (trou source de diamètre $a$ ) à l'aide d'une lentille condenseur $L_{1}$ ; le diaphragme est placé dans le plan focal objet d'une lentille convergente $L_{2}$ (focale $f_{2}^{'}$ ), dite collimatrice. Chaque point du trou donne en sortie de $L_{2}$ un faisceau parallèle ; le trou n'étant pas ponctuel, le faisceau émergent contient des directions comprises dans un cône de demi-angle $≃ a / (2 f_{2}^{'})$ . Il faut donc un diaphragme petit et une grande focale (par exemple $a = 0, 5 mm$ , $f_{2}^{'} = 50 cm$ : $5 \times 1 0^{- 4} rad$ ), au prix d'une perte de luminosité. Le réglage se fait par autocollimation (miroir plan après $L_{2}$ : l'image du trou se forme sur le trou lui-même).

Q41. Loi de Snell-Descartes pour la réfraction air-huile : $sin α = n sin β$ , soit

$sin β = \frac{sin 84 , 2 ^{\circ}}{1 , 4} = 0, 711 ⟹ β \approx 45, 3^{\circ} .$

Le passage se fait d'un milieu moins réfringent vers un milieu plus réfringent : il n'y a jamais de réflexion totale, $sin β = sin α / n ⩽ 1/ n$ existe toujours ( $β ⩽ 45, 6^{\circ}$ ). La lumière pénètre donc toujours (partiellement) dans le film, sauf à l'incidence rasante $α = 9 0^{\circ}$ où la transmission s'annule ( $R = 1$ , figure 13) ; à $84, 2^{\circ}$ , elle est déjà fortement réfléchie. À la sortie, l'incidence sur la seconde face (parallèle à la première) est $β$ , et $n sin β = sin α^{'}$ donne $α^{'} = α = 84, 2^{\circ}$ : les rayons émergent parallèlement aux rayons incidents (la lame à faces parallèles ne dévie pas la lumière, elle la décale seulement). Ils traversent ensuite la paroi arrière de même façon, et parviennent à la caméra alignée avec la source.

Q42. Entre deux rayons émergents successifs, le rayon $k + 1$ a parcouru en plus un aller-retour dans la lame : deux segments de longueur $h / cos β$ dans l'huile. Mais les deux rayons émergents sont comparés sur un même plan d'onde (perpendiculaire à leur direction commune, théorème de Malus) : le rayon $k$ parcourt dans l'air, pendant ce temps, la longueur $2 h tan β sin α$ (projection du décalage $2 h tan β$ le long de la face sur la direction de propagation). La différence de marche vaut

$δ = \frac{2 nh}{cos β} - 2 h tan β sin α = \frac{2 nh}{cos β} - \frac{2 nh sin ^{2} β}{cos β} = 2 nh cos β,$

en utilisant $sin α = n sin β$ . Les deux réflexions supplémentaires ont lieu sur des interfaces huile-air identiques, décrites par le même coefficient réel positif $r$ : elles n'ajoutent pas de déphasage. Donc

$φ = φ_{k + 1} - φ_{k} = \frac{2 π δ}{λ} = \frac{4 π nh cos β}{λ} .$

Q43. Passer du rayon $k$ au rayon $k + 1$ multiplie l'amplitude par $r^{2}$ (deux réflexions internes) et retarde la phase de $φ$ . Par récurrence :

$s_{k} (M, t) = s_{1} (r^{2})^{k - 1} exp [- i (k - 1) φ] exp (i ω t) .$

Somme d'une série géométrique de raison $q = r^{2} e^{- i φ}$ , de module $r^{2} < 1$ (convergente) ; en omettant le facteur commun $exp (i ω t)$ :

$s = k = 1 \sum \infty s_{k} = s_{1} k = 0 \sum \infty q^{k} = \frac{s _{1}}{1 - r ^{2} exp ( - i φ )} . (15)$

Q44. Le rayon 1 a subi deux transmissions (entrée et sortie) : $s_{1} = t^{2} s_{0}$ au facteur de phase près (la relation de l'énoncé $r^{2} + t^{2} = 1$ revient à la relation de Stokes $t t^{'} = 1 - r^{2}$ pour le produit des deux coefficients de transmission). D'où, avec $I_{0} = s_{0}^{2}$ :

$I = s s^{*} = \frac{t ^{4} I _{0}}{( 1 - r ^{2} e ^{- i φ} ) ( 1 - r ^{2} e ^{i φ} )} = \frac{( 1 - r ^{2} ) ^{2} I _{0}}{1 - 2 r ^{2} cos φ + r ^{4}} .$

Avec $cos φ = 1 - 2 sin^{2} (φ /2)$ (formulaire) : $1 - 2 r^{2} cos φ + r^{4} = (1 - r^{2})^{2} + 4 r^{2} sin^{2} (φ /2)$ . Donc

$I = \frac{I _{0}}{1 + m sin ^{2} ( φ /2 )} avec m = \frac{4 r ^{2}}{( 1 - r ^{2} ) ^{2}} . (16)$

C'est la fonction d'Airy de l'interféromètre de Fabry-Perot.

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