Corrigé Centrale 2026 Physique 2 PC — Partie A (Q1 à Q15) : Réseau à échelette du spectrographe NIRSpec : N ondes, pouvoir de résolution, recouvrement des ordres, blaze

Q1. La réflexion sur un miroir obéit à la loi $i^{\prime }=-i$, indépendante de la longueur d'onde : un miroir est rigoureusement achromatique, alors qu'une lentille, taillée dans un verre dispersif ($n$ dépend de $\lambda$), présente des aberrations chromatiques — rédhibitoires pour un instrument qui couvre $0,6$ à $28\mu \mathrm{m}$. S'y ajoutent deux arguments : le verre ordinaire absorbe l'infrarouge moyen, alors qu'un miroir n'est traversé par aucune lumière ; et un grand miroir se soutient par toute sa face arrière (il peut être mince, léger, segmenté), alors qu'une lentille n'est tenue que par son bord.

Interférences à deux ondes.

Q2. On note ${\overrightarrow{u}}_i=-{\overrightarrow{e}}_y$ la direction de l'onde incidente (plane, car $\mathrm{S}$ est à l'infini) et ${\overrightarrow{u}}_d=\sin \theta {\overrightarrow{e}}_x+\cos \theta {\overrightarrow{e}}_y$ celle de l'onde diffractée vers $\mathrm{P}$ à l'infini. Le milieu est le vide (indice $1$). D'après le théorème de Malus, les surfaces d'onde sont orthogonales aux rayons ; pour une onde plane de direction $\overrightarrow{u}$, le chemin optique depuis une surface d'onde de référence jusqu'au point $\mathrm{M}$ vaut $\mathrm{cte}+\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{O\mathrm{M}}$. Ainsi

$$(\mathrm{SM})=\mathrm{cte}+{\overrightarrow{u}}_i\cdot \overrightarrow{O\mathrm{M}},(\mathrm{MP})={\mathrm{cte}}^{\prime }-{\overrightarrow{u}}_d\cdot \overrightarrow{O\mathrm{M}}.$$

Avec $\overrightarrow{{\mathrm{M}}_1{\mathrm{M}}_2}=a{\overrightarrow{e}}_x$ : $(\mathrm{S}{\mathrm{M}}_1)-(\mathrm{S}{\mathrm{M}}_2)=-{\overrightarrow{u}}_i\cdot a{\overrightarrow{e}}_x=0$ (incidence normale : ${\mathrm{M}}_1$ et ${\mathrm{M}}_2$ sont sur la même surface d'onde incidente) et $({\mathrm{M}}_1\mathrm{P})-({\mathrm{M}}_2\mathrm{P})={\overrightarrow{u}}_d\cdot a{\overrightarrow{e}}_x=a\sin \theta$. D'où

$$\boxed{\delta =a\sin \theta ,\varphi =\frac{2\pi \delta }{\lambda }=\frac{2\pi a\sin \theta }{\lambda }.}$$

On le lit aussi sur la figure 3 : pour $\theta >0$, le rayon issu de ${\mathrm{M}}_1$ doit parcourir le segment $a\sin \theta$ (projection de ${\mathrm{M}}_1{\mathrm{M}}_2$ sur la direction diffractée) avant d'atteindre la surface d'onde qui passe par ${\mathrm{M}}_2$.

Q3. Les deux ondes, issues de la même source ponctuelle monochromatique, sont cohérentes : on ajoute les amplitudes. L'intensité est $I=K{\left|\underline{s}\right|}^2$ ; on prend $K=1$, la normalisation l'élimine. Avec $\underline{s}(1)=A_0{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\varphi }_1}$, $\underline{s}(2)=A_0{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\varphi }_2}$ et ${\varphi }_1-{\varphi }_2=\pm \varphi$ (le signe dépend de la convention temporelle et disparaît au module) :

$$I_2={\left|A_0{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\varphi }_1}\left(1+{\mathrm{e}}^{\mp \mathrm{i}\varphi }\right)\right|}^2=A_0^2(2+2\cos \varphi )=4A_0^2{\cos }^2\frac{\varphi }{2}.$$

Le maximum vaut $4A_0^2$, atteint en $\varphi =2\pi p$, d'où

$$\boxed{I_{n,2}(\varphi )={\cos }^2\frac{\varphi }{2}=\frac{1+\cos \varphi }{2}.}$$

C'est une sinusoïde de période $2\pi$ entre $0$ et $1$ : maxima en $\varphi =2\pi p$, zéros en $\varphi =\pi +2\pi p$ (franges larges, deux ondes de même amplitude, contraste $1$).

Interférences à $N$ ondes.

Q4. Le calcul de Q2, avec $\overrightarrow{{{\mathrm{M}}_1\mathrm{M}}_k}=(k-1)a{\overrightarrow{e}}_x$, donne

$$\boxed{{\delta }_k=(k-1)a\sin \theta =(k-1)\delta ,{\varphi }_k=\frac{2\pi {\delta }_k}{\lambda }=(k-1)\varphi .}$$

Q5. Les $N$ ondes sont cohérentes et de même amplitude $A_0$ ; leurs phases forment une progression arithmétique de raison $\varphi$ (au signe près, sans effet sur le module). L'amplitude résultante en $\mathrm{P}$ est

$$\underline{s}=A_0{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\varphi }_1}\sum _{k=1}^N{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}(k-1)\varphi }=A_0{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\varphi }_1}\sum _{j=0}^{N-1}{q}^j,q={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi }.$$

Pour $\varphi \ne 2\pi p$, on a $q\ne 1$ et le formulaire donne ${\sum }_{j=0}^{N-1}{q}^j=\frac{1-{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}N\varphi }}{1-{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\varphi }}$. En factorisant par l'exponentielle de l'angle moitié, $1-{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}N\varphi }=-2\mathrm{i}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}N\varphi /2}\sin (N\varphi /2)$ et de même au dénominateur, d'où