Corrigé Centrale 2026 Physique 2 PC — Partie B (Q16 à Q25) : Absorption IR de CO : oscillateur harmonique, potentiel de Morse, puits de potentiel fini

Sujet officiel du concours Centrale, session 2026, épreuve Physique 2 PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Spectre d'absorption de l'atmosphère d'une exoplanète. Approche classique (référentiel galiléen, seule force : le rappel élastique) : masse $μ$ au bout d'un ressort sans masse ( $k$ , $ℓ_{0}$ ) fixé à une paroi (figure 5) ; molécule AB, masses $m_{A}$ , $m_{B}$ , liaison modélisée par ce ressort (figure 6).

{Figure 5 — Système masse-ressort Figure 6 — Molécule diatomique}

Q16. Équation différentielle de $ℓ (t)$ ; pulsation propre $ω_{0} (k, μ)$ .
Q17. Montrer que $ℓ = x_{B} - x_{A}$ vérifie la même équation ; exprimer $μ$ .

CO absorbe au maximum à $λ = 4, 67 μ m$ (pulsation $ω_{0}$ ). Potentiel de Morse : $V (ℓ) = V_{0} [1 - e^{- a (ℓ - ℓ_{0})}]^{2}$ , $V_{0}, a > 0$ .

{Figure 7 — Potentiel de Morse de CO : $V / V_{0}$ en fonction de $ℓ / ℓ_{0}$ }

Q18. Calculer la raideur $k$ de la liaison CO ; commenter.
Q19. Exprimer $V_{0} (k, a)$ ; application numérique, commentaire.
Q20. Pourquoi l'approche classique n'explique-t-elle pas cette absorption sélective ?

Approche quantique. Particule de masse $μ$ dans $V_{app}$ (figure 8), fonction d'onde $ψ (x, t)$ , énergie $E$ : $- \frac{ℏ ^{2}}{2 μ} \frac{\partial ^{2} ψ}{\partial x ^{2}} + V_{app} ψ = i ℏ \frac{\partial ψ}{\partial t}$ . On cherche $ψ = ϕ (x) f (t)$ , $E < V_{0}$ .

$V_{app} (x) = ⎩ ⎨ ⎧ + \infty 0 V_{0} x < 0 (zone 1) 0 ⩽ x ⩽ L (zone 2) x > L (zone 3)$

{Figure 8 — Potentiel de Morse approché}

Q21. Montrer que $i ℏ f^{'} / f = A$ (constante, homogène à une énergie) ; avec $A = E$ , trouver $f (t)$ .

On pose $K = 2 μ E /ℏ$ et $K^{'} = 2 μ (V_{0} - E) /ℏ$ .

Q22. Équation vérifiée par $ϕ (x)$ ; forme générale de $ϕ_{1}$ , $ϕ_{2}$ , $ϕ_{3}$ .
Q23. En déduire $K^{'} L = - K L / tan (K L)$ .

{Figure 9 — Fonction $z \mapsto - z / tan (z)$ }

Q24. Justifier que les $K L$ solutions sont les intersections de cette courbe avec un cercle de centre $O$ et de rayon $R$ à exprimer.
Q25. Estimer $L$ pour que la transition fondamental $\to$ premier excité absorbe $λ = 4, 67 μ m$ . Qualité de l'approximation ?

$c = 3, 00 \times 1 0^{8} m \cdot s^{- 1}$	$ℏ = 1, 05 \times 1 0^{- 34} J \cdot s$	$e = 1, 60 \times 1 0^{- 19} C$
$N_{A} = 6, 02 \times 1 0^{23} mo l^{- 1}$	$μ_{CO} = 1, 14 \times 1 0^{- 26} kg$	$a_{CO} = 2, 27 \times 1 0^{10} m^{- 1}$
$ℓ_{0, CO} = 113 pm$

Corrigé

Approche classique.

Q16. Système : la masse $μ$ ; référentiel galiléen ; origine de l'axe au point fixe, de sorte que la position de la masse est $x = ℓ (t)$ . Seule force : la tension du ressort, $F = - k (ℓ - ℓ_{0}) e_{x}$ (ressort allongé, $ℓ > ℓ_{0}$ : la masse est rappelée vers la paroi). Le principe fondamental de la dynamique projeté sur $e_{x}$ donne $μ ℓ ¨ = - k (ℓ - ℓ_{0})$ , soit

$ℓ ¨ + ω_{0}^{2} ℓ = ω_{0}^{2} ℓ_{0}, ω_{0} = \frac{k}{μ} .$

C'est un oscillateur harmonique autour de la position d'équilibre $ℓ = ℓ_{0}$ .

Q17. On applique le principe fondamental de la dynamique à chaque atome dans le référentiel galiléen. Le ressort allongé ( $ℓ > ℓ_{0}$ ) tire A vers B ( $+ e_{x}$ ) et B vers A ( $- e_{x}$ ), avec des forces opposées (ressort sans masse) :

$m_{A} x ¨_{A} = + k (ℓ - ℓ_{0}), m_{B} x ¨_{B} = - k (ℓ - ℓ_{0}) .$

En divisant par les masses et en soustrayant :

$ℓ ¨ = x ¨_{B} - x ¨_{A} = - k (\frac{1}{m _{A}} + \frac{1}{m _{B}}) (ℓ - ℓ_{0}) = - \frac{k}{μ} (ℓ - ℓ_{0}), μ = \frac{m _{A} m _{B}}{m _{A} + m _{B}} .$

C'est l'équation de Q16 : le mouvement relatif est celui d'une particule fictive de masse réduite $μ$ (le centre de masse, sans force extérieure, est en mouvement rectiligne uniforme). Contrôle : pour CO, $μ = \frac{12 \times 16}{28} u = 6, 86 u = 1, 14 \times 1 0^{- 26} kg$ , la valeur donnée.

Q18. La pulsation propre est celle de l'onde absorbée : $ω_{0} = 2 π c / λ$ , d'où

$k = μ ω_{0}^{2} = μ (\frac{2 π c}{λ})^{2} = 1, 14 \times 1 0^{- 26} \times (\frac{2 π \times 3 , 00 \times 1 0 ^{8}}{4 , 67 \times 1 0 ^{- 6}})^{2} = 1, 86 \times 1 0^{3} N \cdot m^{- 1}$

( $ω_{0} = 4, 04 \times 1 0^{14} rad \cdot s^{- 1}$ ). Homogénéité : $kg \cdot s^{- 2} = N \cdot m^{- 1}$ . Commentaire : c'est la raideur d'un ressort macroscopique robuste, portée par une liaison de $1 0^{- 10} m$ : la liaison covalente est très rigide. Les raideurs des liaisons simples sont de quelques centaines de $N \cdot m^{- 1}$ ; la valeur élevée de CO traduit sa liaison triple, l'une des plus fortes de la chimie.

Q19. Au voisinage du minimum, on pose $u = ℓ - ℓ_{0}$ petit : $1 - e^{- a u} ≃ a u$ (formulaire, ordre 1), d'où $V (ℓ) ≃ V_{0} a^{2} u^{2}$ . L'approximation harmonique identifie ce terme à l'énergie potentielle élastique $\frac{1}{2} k u^{2}$ :

$V_{0} a^{2} = \frac{k}{2} ⟹ V_{0} = \frac{k}{2 a ^{2}} = \frac{1 , 86 \times 1 0 ^{3}}{2 \times ( 2 , 27 \times 1 0 ^{10} ) ^{2}} = 1, 80 \times 1 0^{- 18} J .$

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