Corrigé Centrale 2026 Physique 2 PC — Partie C.I (Q26 à Q31) : Refroidissement passif du JWST par rayonnement : loi de Stefan, bilan, méthode d'Euler

Sujet officiel du concours Centrale, session 2026, épreuve Physique 2 PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Pour ne pas masquer les faibles signaux infrarouges qu'il capte, le télescope doit être refroidi sous $50 K$ . Un bouclier thermique de 5 couches réfléchissantes sépare un « côté chaud » ( $T \sim 350 K$ , tourné vers le Soleil) d'un « côté froid » ( $T < 50 K$ : miroirs et instruments, MIRI à $7 K$ ) — figure 10 du sujet, vue du satellite non redessinée. Tout corps émet la puissance surfacique $P_{S} = σ T^{4}$ (loi de Stefan).

Q26. Estimer la puissance thermique $P_{so l}$ reçue du Soleil par le JWST.

Le bouclier ne transmet au côté froid que $P_{t} = 23 mW$ . Côté froid : masse $m$ , surface $S$ , capacité thermique massique $c$ , température $T (t)$ .

Q27. Par un bilan d'énergie, montrer que $\frac{d T}{d t} + a T^{4} = b$ ; exprimer $a$ , $b > 0$ en fonction de $P_{t}$ , $S$ , $m$ , $c$ , $σ$ .
Q28. Exprimer $T_{\infty}$ (régime permanent) ; par analyse dimensionnelle, un temps caractéristique $τ (T_{\infty}, a, b)$ . Valeurs de $T_{\infty}$ (K) et $τ$ (jours) ?
Q29. Compléter def f(y): return ... pour écrire l'équation sous la forme $y^{'} = f (y)$ ( $a$ , $b$ déjà définis).
Q30. Compléter def euler(f, dt, T0) (initialisée par t = [0], T = [T0], terminée par return t, T) : méthode d'Euler de pas dt, du lancement ( $T_{0}$ ) à $150$ jours, sans importer de module.
Q31. Commenter la figure 11 (solution d'Euler et mesures du capteur).

{Figure 11 — Profil de température $T (t)$ du côté froid du JWST}

$σ = 5, 67 \times 1 0^{- 8} W \cdot m^{- 2} \cdot K^{- 4}$	$T_{so l} = 5, 77 \times 1 0^{3} K$
$R_{so l} = 696 \times 1 0^{3} km$	$d = 151 \times 1 0^{6} km$ (Soleil – JWST)
$S_{b} = 240 m^{2}$ (une couche du bouclier)	$P_{t} = 23 mW$
$m = 6, 0 \times 1 0^{3} kg$ (côté froid)	$c = 1, 6 \times 1 0^{3} J \cdot K^{- 1} \cdot k g^{- 1}$
$S = 150 m^{2}$ (côté froid)

Corrigé

Q26. Le Soleil, assimilé à une sphère de rayon $R_{so l}$ rayonnant selon la loi de Stefan, émet la puissance totale $P_{⊙} = 4 π R_{so l}^{2} σ T_{so l}^{4}$ , de façon isotrope. En l'absence d'absorption dans l'espace, cette puissance traverse, à la distance $d$ , une sphère de surface $4 π d^{2}$ : le flux surfacique reçu est

$φ = \frac{P _{⊙}}{4 π d ^{2}} = σ T_{so l}^{4} (\frac{R _{so l}}{d})^{2}$

$φ = 5, 67 \times 1 0^{- 8} \times (5, 77 \times 1 0^{3})^{4} \times (\frac{696 \times 1 0 ^{3}}{151 \times 1 0 ^{6}})^{2} = 1, 34 \times 1 0^{3} W \cdot m^{- 2}$

(la « constante solaire », normal : le JWST, au point de Lagrange L2, est à peine plus loin du Soleil que la Terre). Le bouclier, de surface $S_{b}$ , est tourné face au Soleil (rayons normaux) ; il intercepte

$P_{so l} = σ T_{so l}^{4} (\frac{R _{so l}}{d})^{2} S_{b} \approx 1, 34 \times 1 0^{3} \times 240 \approx 3, 2 \times 1 0^{5} W .$

Environ $300 kW$ tombent sur le bouclier, à comparer aux $23 mW$ qui atteignent le côté froid : le bouclier atténue d'un facteur $1 0^{7}$ .

Q27. Système : le côté froid du télescope (masse $m$ , phase condensée incompressible de capacité thermique $m c$ ), système fermé, sans travail reçu. Échanges pendant $d t$ :

il reçoit du bouclier l'énergie $P_{t} d t$ ;
il rayonne vers l'espace, par sa surface $S$ , l'énergie $σ T^{4} S d t$ (loi de Stefan, comportement de corps noir) ; il ne reçoit rien de l'espace froid (fond du ciel à $3 K$ , négligeable).

Le premier principe s'écrit $d U = m c d T = P_{t} d t - σ S T^{4} d t$ , d'où

$\frac{d T}{d t} + \frac{σ S}{m c} T^{4} = \frac{P _{t}}{m c}, a = \frac{σ S}{m c}, b = \frac{P _{t}}{m c} .$

Contrôle d'unités : $b$ en $W/ (J \cdot K^{- 1}) = K \cdot s^{- 1}$ et $a T^{4}$ aussi.

Q28. En régime permanent $d T / d t = 0$ , d'où $a T_{\infty}^{4} = b$ :

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