Corrigé Centrale 2026 Physique 2 PC — Partie C.II (Q32 à Q43) : Réfrigérateur thermo-acoustique : ondes sonores stationnaires et cycle d'une particule de fluide

Sujet officiel du concours Centrale, session 2026, épreuve Physique 2 PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Refroidir MIRI vers $7 K$ : modèle de réfrigérateur thermo-acoustique. Enceinte d'axe $x$ , longueur $L$ , parois rigides, gaz parfait ( $γ$ ) ; repos : $μ_{0}$ , $p_{0}$ , $T_{0}$ , $v_{0} = 0$ (figure 12). Onde sans dissipation (isentropique), perturbations d'ordre 1 : $μ = μ_{0} + μ_{1}$ , $p = p_{0} + p_{1}$ , $v = v_{1}$ , $T = T_{0} + T_{1}$ .

{Figure 12 — Enceinte aux parois rigides de longueur $L$ }

Q32. Équation d'Euler et conservation de la masse.
Q33. Linéariser ces équations et $χ_{S} = \frac{1}{μ} (\frac{\partial μ}{\partial P})_{S}$ : système reliant $p_{1}$ , $μ_{1}$ , $v_{1}$ .
Q34. Équation de propagation de $p_{1} (x, t)$ ; célérité $c$ .

En régime sinusoïdal : $μ_{1} = μ_{1} (x) e^{i ω t}$ , $p_{1} = p_{1} (x) e^{i ω t}$ , $v_{1} = i v_{1} (x) e^{i ω t}$ , $T_{1} = T_{1} (x) e^{i ω t}$ .

Q35. Montrer que $p_{1} (x) = p_{a} cos (k x)$ et exprimer $k (ω, μ_{0}, χ_{S})$ .
Q36. ( $v_{a}$ , $T_{a}$ : amplitudes de $v_{1}$ , $T_{1}$ ) Quantifier $k_{n}$ ( $n \in N^{*}$ ) ; tracer $p_{1} / p_{a}$ et $v_{1} / v_{a}$ pour $n = 2$ .
Q37. Loi de Laplace entre $T$ et $P$ ; hypothèses.
Q38. Déterminer $T_{1} (x)$ et $T_{a} (γ, T_{0}, p_{0}, p_{a})$ .

Plaque. Une particule de fluide oscille (amplitude $x_{a}$ , autour de $x_{m}$ situé entre un maximum de $v_{1}$ et un de $p_{1}$ ) le long d'une plaque de température stationnaire non uniforme (figure 13). En $x_{m} \pm x_{a}$ : pression $p_{m} (1 \pm ε_{p})$ avec $ε_{p} = x_{a} p_{m}^{'} / p_{m}$ ; plaque à $T_{m} (1 \pm ε_{T})$ avec $ε_{T} = x_{a} T_{m}^{'} / T_{m}$ ( $p_{m}^{'}, T_{m}^{'} > 0$ ) ; $ε_{p}^{'} = \frac{γ - 1}{γ} ε_{p}$ .

{Figure 13 — Cycle d'une particule de fluide au voisinage de la plaque}

Cycle : $[1] \to [2]$ et $[3] \to [4]$ adiabatiques réversibles (compression, détente) ; $[2] \to [3]$ et $[4] \to [1]$ thermalisations isobares avec la plaque :

Point	Abscisse	Pression	Température
1	$x_{m} - x_{a}$	$p_{m} (1 - ε_{p})$	$T_{1} = T_{m} (1 - ε_{T})$
2	$x_{m} + x_{a}$	$p_{m} (1 + ε_{p})$	$T_{2} = T_{m} [1 - ε_{T} + 2 ε_{p}^{'} - 2 ε_{p}^{'} ε_{T} + 2 ε_{p}^{'2}]$
3	$x_{m} + x_{a}$	$p_{m} (1 + ε_{p})$	$T_{3} = T_{m} (1 + ε_{T})$
4	$x_{m} - x_{a}$	$p_{m} (1 - ε_{p})$	$T_{4} = T_{m} [1 + ε_{T} - 2 ε_{p}^{'} - 2 ε_{p}^{'} ε_{T} + 2 ε_{p}^{'2}]$

Q39. Sources chaude et froide ? Origine du travail reçu ?
Q40. Cycle réfrigérateur en diagramme de Clapeyron $(v, p)$ .
Q41. Comparer $T_{2}$ , $T_{3}$ et $T_{1}$ , $T_{4}$ (cycle frigorifique) ; borne supérieure de $T_{m}^{'}$ .
Q42. Chaleurs massiques $q_{ij}$ ( $c_{p}$ , $T_{i}$ , $T_{j}$ ) ; travail massique $w_{cycle} (c_{p}, T_{m}, ε_{p}^{'}, ε_{T})$ ; commenter.
Q43. Définir et exprimer l'efficacité réelle ( $ε_{p}^{'}$ ) et celle de Carnot ( $ε_{T}$ ).

Corrigé

Solution en ondes stationnaires.

Q32. Dans le référentiel de l'enceinte, supposé galiléen, pour un fluide parfait (viscosité négligée) et sans pesanteur (effet négligeable sur l'onde), l'équation d'Euler et l'équation locale de conservation de la masse s'écrivent

$μ (\frac{\partial v}{\partial t} + (v \cdot grad) v) = - grad p, \frac{\partial μ}{\partial t} + div (μ v) = 0,$

soit à une dimension ( $v = v (x, t) e_{x}$ ) : $μ (\frac{\partial v}{\partial t} + v \frac{\partial v}{\partial x}) = - \frac{\partial p}{\partial x}$ et $\frac{\partial μ}{\partial t} + \frac{\partial ( μv )}{\partial x} = 0$ .

Q33. On ne garde que les termes d'ordre 1 (approximation acoustique ; $μ_{0}$ , $p_{0}$ uniformes et constants) : $μ \partial v / \partial t ≃ μ_{0} \partial v_{1} / \partial t$ , le terme convectif $μv \partial v / \partial x$ est d'ordre 2, et $\partial (μv) / \partial x ≃ μ_{0} \partial v_{1} / \partial x$ . La transformation étant isentropique, $μ - μ_{0} ≃ (\partial μ / \partial P)_{S} (p - p_{0}) = μ_{0} χ_{S} p_{1}$ , $χ_{S}$ étant pris dans l'état de repos. D'où le système

$μ_{0} \frac{\partial v _{1}}{\partial t} = - \frac{\partial p _{1}}{\partial x} (1), \frac{\partial μ _{1}}{\partial t} + μ_{0} \frac{\partial v _{1}}{\partial x} = 0 (2), μ_{1} = μ_{0} χ_{S} p_{1} (3) .$

Q34. On reporte (3) dans (2) : $χ_{S} \partial p_{1} / \partial t = - \partial v_{1} / \partial x$ . On dérive cette relation par rapport à $t$ et (1) par rapport à $x$ , puis on élimine la dérivée croisée $\partial^{2} v_{1} / \partial x \partial t$ (théorème de Schwarz) :

$\frac{\partial ^{2} p _{1}}{\partial x ^{2}} = \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} p _{1}}{\partial t ^{2}}, c = \frac{1}{μ _{0} χ _{S}} .$

C'est l'équation de d'Alembert. Pour le gaz parfait en évolution isentropique ( $p V^{γ}$ constant), $χ_{S} = 1/ (γ p_{0})$ et $c = γ p_{0} / μ_{0}$ .

Q35. En notation complexe, $\partial^{2} / \partial t^{2} \to - ω^{2}$ ; l'équation de Q34 devient

$p_{1}^{''} (x) + k^{2} p_{1} (x) = 0, k = \frac{ω}{c} = ω μ_{0} χ_{S},$

de solution générale $p_{1} (x) = α cos (k x) + β sin (k x)$ . Condition aux limites : la paroi rigide en $x = 0$ impose une vitesse normale nulle, $v_{1} (0) = 0$ . Or (1) donne, avec $v_{1} = i v_{1} (x) e^{i ω t}$ ,

$μ_{0} (i ω) (i v_{1} (x)) = - p_{1}^{'} (x) ⟹ v_{1} (x) = \frac{p _{1}^{'} ( x )}{μ _{0} ω} .$

$v_{1} (0) = 0$ impose $p_{1}^{'} (0) = k β = 0$ , donc $β = 0$ . En choisissant l'origine des temps pour que l'amplitude soit réelle positive, $α = p_{a}$ et $p_{1} (x) = p_{a} cos (k x)$ .

Q36. On en déduit $v_{1} (x) = - \frac{k p _{a}}{μ _{0} ω} sin (k x) = - v_{a} sin (k x)$ , avec $v_{a} = \frac{p _{a}}{μ _{0} c}$ . La seconde paroi impose $v_{1} (L) = 0$ , soit $sin (k L) = 0$ :

$k_{n} = \frac{nπ}{L}, n \in N^{*}, ω_{n} = \frac{nπ c}{L}$

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