Corrigé Centrale 2026 Physique-chimie 1 MP — Partie B (Q15 à Q29) : Cavité d'un laser : modes, cavité avec pertes, intervalle spectral libre, finesse

Q15. Dans le vide (sans charge ni courant), les équations de Maxwell s'écrivent

$$\mathrm{div}\overrightarrow{E}=0,\mathrm{div}\overrightarrow{B}=0,\overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{E}=-\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t},\overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{B}={\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}.$$

Q16. On prend le rotationnel de l'équation de Maxwell-Faraday et on utilise Maxwell-Ampère (les dérivations en temps et en espace commutent) :

$$\overrightarrow{\mathrm{rot}}\left(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{E}\right)=-\frac{\partial }{\partial t}\overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{B}=-{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{{\partial }^2\overrightarrow{E}}{\partial t^2}.$$

D'après le formulaire, $\overrightarrow{\mathrm{rot}}(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{E})=\overrightarrow{\mathrm{grad}}(\mathrm{div}\overrightarrow{E})-\Delta \overrightarrow{E}=-\Delta \overrightarrow{E}$ puisque $\mathrm{div}\overrightarrow{E}=0$ (Maxwell-Gauss). D'où l'équation de d'Alembert

$$\Delta \overrightarrow{E}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2\overrightarrow{E}}{\partial t^2}=\overrightarrow{0},c=\frac{1}{\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0}}\approx 3,00\times 10^8\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}.$$

Q17. Pour ${\underline{\overrightarrow{E}}}_{+}$, les dérivations deviennent des multiplications : $\partial /\partial t\to j\omega$ et $\partial /\partial x\to -jk$. L'équation de Q16 donne $(-jk{)}^2{\underline{\overrightarrow{E}}}_{+}-\frac{(j\omega {)}^2}{c^2}{\underline{\overrightarrow{E}}}_{+}=\overrightarrow{0}$, soit, pour une onde non nulle,

$$\boxed{k^2=\frac{{\omega }^2}{c^2}},k=\frac{\omega }{c}(k>0).$$

(Même résultat pour ${\underline{\overrightarrow{E}}}_{-}$.) Le vide n'est pas dispersif : vitesse de phase $\omega /k=c$ pour toute pulsation. L'onde est bien transverse ($\mathrm{div}{\underline{\overrightarrow{E}}}_{\pm }=0$ car ${\overrightarrow{e}}_y\perp {\overrightarrow{e}}_x$).

Q18. Dans la cavité, le champ total est $\underline{\overrightarrow{E}}=({\underline{E}}_{0+}{\mathrm{e}}^{-jkx}+{\underline{E}}_{0-}{\mathrm{e}}^{jkx}){\mathrm{e}}^{j\omega t}{\overrightarrow{e}}_y$ ; il est nul au-delà des miroirs. La relation de passage n'autorise une discontinuité que selon la normale ${\overrightarrow{n}}_{12}=\pm {\overrightarrow{e}}_x$ : la composante tangentielle (selon ${\overrightarrow{e}}_y$) est continue. Elle est nulle dans le conducteur, donc nulle au ras des miroirs, côté cavité, à tout instant :

$$\text{en }x=0:{\underline{E}}_{0+}+{\underline{E}}_{0-}=0;\text{en }x=L:{\underline{E}}_{0+}{\mathrm{e}}^{-jkL}+{\underline{E}}_{0-}{\mathrm{e}}^{jkL}=0.$$

Q19. Avec ${\underline{E}}_{0-}=-{\underline{E}}_{0+}$, la seconde relation devient ${\underline{E}}_{0+}({\mathrm{e}}^{-jkL}-{\mathrm{e}}^{jkL})=-2j{\underline{E}}_{0+}\sin (kL)=0$. Pour un champ non nul (${\underline{E}}_{0+}\ne 0$), il faut $\sin (kL)=0$, soit $k=m\pi /L$ avec $m$ entier ; $m=0$ donne un champ nul et $m<0$ redonne les mêmes modes, d'où $m\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Avec $\nu =\omega /(2\pi )=ck/(2\pi )$ (Q17) :