Corrigé Centrale 2026 Physique-chimie 1 MP — Partie C.I-C.II (Q30 à Q40) : Milieu amplificateur : cinétique des populations, inversion, bilan d'énergie et gain

Sujet officiel du concours Centrale, session 2026, épreuve Physique-chimie 1 MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Le milieu amplificateur contient une espèce $M$ : état fondamental $M$ (énergie $E_{1}$ ), excité $M^{*}$ ( $E_{2}$ ), doublement excité $M^{**}$ ( $E_{3}$ ), de « populations » $n_{1}$ , $n_{2}$ , $n_{3}$ (nombres par unité de volume). Les processus sont modélisés par des « réactions » d'ordre 1 : pompage $M \to M^{**}$ (vitesse $v_{pomp}$ , constante $Γ$ ) ; désexcitation non radiative, très rapide, $M^{**} \to M^{*}$ ( $v_{nr}$ , $k_{nr}$ ) ; absorption $M \to M^{*}$ d'un photon $ℏ ω = E_{2} - E_{1}$ ( $v_{abs}$ , $β$ ) ; émission stimulée $M^{*} \to M$ d'un photon cohérent avec le photon incident ( $v_{stim}$ , même constante $β$ ) ; émission spontanée $M^{*} \to M$ , aléatoire et isotrope ( $v_{spont}$ , $A$ ).

{Figure 5 — Gauche : niveaux de $M$ et transitions. Droite : réseau de « réactions d'ordre 1 » et constantes de vitesse.}

Q30. Lois de vitesse des cinq processus.
Q31. Justifier $\frac{d n _{1}}{d t} = - Γ n_{1} + A n_{2} + β n_{2} - β n_{1}$ .
Q32. Relations analogues pour $d n_{2} / d t$ et $d n_{3} / d t$ .
Q33. Vérifier que $n_{1} + n_{2} + n_{3}$ est constante ; interpréter.
On pose $Δ n = n_{2} - n_{1}$ ; régime stationnaire.
Q34. $Δ n$ en fonction de $n_{3}$ et des constantes de vitesse.
Q35. Condition d'inversion de population ( $Δ n > 0$ ) ; interprétation.

Bilan de puissance. $β = b u_{e ˊ m} (x, t)$ , $b$ constante ; onde plane harmonique polarisée selon $e_{y}$ , se propageant à $c$ selon $+ e_{x}$ , de vecteur de Poynting $Π (x, t) e_{x}$ avec $Π = c u_{e ˊ m}$ . Bilan sur le volume de section $S$ entre $x$ et $x + d x$ .
Q36. Processus qui contribuent au bilan ; gains et pertes pour l'onde laser.
Q37. Montrer que $\frac{\partial Π}{\partial x} + \frac{1}{c} \frac{\partial Π}{\partial t} = γ (ω) Π - p (ω)$ ; expliciter $γ$ et $p$ (en fonction de $A$ , $b$ , $n_{1}$ , $n_{2}$ , $c$ , $ℏ ω$ ).
On suppose $p (ω) ≪ γ (ω) Π$ .
Q38. Commenter cette condition (nature de la lumière laser).
Q39. En régime stationnaire, $Π (x)$ avec $Π_{0} = Π (0)$ .
Q40. Interpréter $γ (ω)$ , discuter son signe selon celui de $Δ n$ ; lien avec Q35.

Corrigé

Q30. Chaque processus est un acte monomoléculaire d'ordre 1 : sa vitesse volumique est le produit de sa constante de vitesse par la population de l'état de départ.

$v_{pomp} = Γ n_{1}, v_{nr} = k_{nr} n_{3}, v_{abs} = β n_{1}, v_{stim} = β n_{2}, v_{spont} = A n_{2} .$

Q31. L'état fondamental $M$ est consommé par le pompage ( $M \to M^{**}$ ) et par l'absorption ( $M \to M^{*}$ ), et formé par l'émission stimulée et l'émission spontanée ( $M^{*} \to M$ ). La vitesse de variation de $n_{1}$ est la somme algébrique des vitesses des processus qui le forment moins celles des processus qui le consomment (chacun avec un coefficient stœchiométrique $1$ ) :

$\frac{d n _{1}}{d t} = - v_{pomp} - v_{abs} + v_{stim} + v_{spont} = - Γ n_{1} + A n_{2} + β n_{2} - β n_{1} .$

Q32. De même, $M^{*}$ est formé par la désexcitation non radiative et par l'absorption, consommé par les deux émissions ; $M^{**}$ est formé par le pompage et consommé par la désexcitation non radiative :

$\frac{d n _{2}}{d t} = k_{nr} n_{3} + β n_{1} - β n_{2} - A n_{2}, \frac{d n _{3}}{d t} = Γ n_{1} - k_{nr} n_{3} .$

Q33. En sommant les trois équations, tous les termes se compensent deux à deux :

$\frac{d}{d t} (n_{1} + n_{2} + n_{3}) = (- Γ n_{1} + Γ n_{1}) + (A n_{2} - A n_{2}) + (β n_{2} - β n_{2}) + (β n_{1} - β n_{1}) + (k_{nr} n_{3} - k_{nr} n_{3}) = 0.$

Donc $n_{1} + n_{2} + n_{3} = n_{tot}$ est constante : les processus ne font que faire passer l'espèce $M$ d'un état d'énergie à un autre, sans la créer ni la détruire (conservation de la matière ; il s'agit de réactions d'« isomérisation » entre états d'une même entité).

Q34. En régime stationnaire, toutes les dérivées sont nulles.

$d n_{3} / d t = 0$ donne $Γ n_{1} = k_{nr} n_{3}$ , soit $n_{1} = \frac{k _{nr}}{Γ} n_{3}$ .
$d n_{1} / d t = 0$ donne $(A + β) n_{2} = (Γ + β) n_{1}$ , soit $n_{2} = \frac{Γ + β}{A + β} n_{1}$ (l'équation en $n_{2}$ n'apporte rien de plus : c'est la somme des deux autres, au signe près, d'après Q33).

D'où

$Δ n = n_{2} - n_{1} = n_{1} (\frac{Γ + β}{A + β} - 1) = n_{1} \frac{Γ - A}{A + β} ⟹ Δ n = \frac{k _{nr} ( Γ - A )}{Γ ( A + β )} n_{3} .$

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