Corrigé Centrale 2026 Physique-chimie 1 MPI — Partie A (Q1 à Q11) : Pression de radiation sur un conducteur parfait et modes d'une cavité plane

Sujet officiel du concours Centrale, session 2026, épreuve Physique-chimie 1 MPI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Une onde plane progressive monochromatique, dans le vide ( $z < 0$ ), arrive sous incidence normale sur un conducteur parfait occupant $z > 0$ (champs nuls à l'intérieur, charge surfacique nulle, origine sur la surface) : $E_{i} = E_{0} cos (ω (t - z / c)) e_{x}$ , $k_{i} = k_{z} e_{z}$ avec $k_{z} = ω / c$ .

{ Figure 1 — Structure de l'onde incidente.}

Relations de passage (milieu 1 vers milieu 2, normale $n_{12}$ , figure 12) : $E_{2} - E_{1} = \frac{σ}{ε _{0}} n_{12}$ et $B_{2} - B_{1} = μ_{0} _{s} \land n_{12}$ .

{ Figure 12 — Schéma associé aux relations de passage.}

Q1. Justifier l'existence d'une onde réfléchie de même pulsation et même polarisation ; exprimer $E_{r} (M, t)$ .
Q2. Montrer que $E (M, t) = E_{0 t} sin (ω z / c) sin (ω t) e_{x}$ pour $z < 0$ ; exprimer $E_{0 t}$ .
Q3. Champ magnétique total pour $z < 0$ .
Q4. Densité d'énergie $u_{e m}$ et sa moyenne temporelle $⟨ u_{e m} ⟩$ .
Q5. Courant surfacique $_{s} (t)$ en $z = 0$ .

Un élément $d S$ du plan, autour de $P$ , crée à son voisinage immédiat $B_{d S} (0^{\mp}, t) = \mp \frac{1}{2} μ_{0} _{s} \land e_{z}$ .

Q6. Champ $B^{*} (0^{\pm}, t)$ de l'onde incidente et de la nappe privée de $d S$ .
Q7. Force élémentaire $d F$ sur $d S$ , puis $⟨ d F ⟩$ .
Q8. Montrer qu'elle traduit une pression de radiation $P_{rad} = ⟨ u_{e m} ⟩$ .

Modèle corpusculaire : photons de vitesse $c$ , d'énergie $ℏ ω$ , de quantité de mouvement $\frac{ℏ ω}{c} e_{z}$ , de densité $n_{γ}$ ; choc élastique sur le plan.

Q9. Quantité de mouvement cédée au plan par unité de temps et de surface ; pression de radiation en fonction de la densité d'énergie des photons incidents et réfléchis. Commenter.

Un second plan conducteur parfait est placé en $z = - a$ (plans illimités selon $x$ et $y$ ).

Q10. Montrer que la pulsation est quantifiée par un entier $n > 0$ (modes de la cavité).
Q11. Pour $a = 100 nm$ : plus grande longueur d'onde $λ_{m a x}$ possible et domaine spectral.

Corrigé

Q1. Relation de passage en $z = 0$ , du vide (milieu 1) vers le conducteur (milieu 2), $n_{12} = e_{z}$ , avec $σ = 0$ et $E_{2} = 0$ dans le conducteur parfait :

$0 - E (0^{-}, t) = 0 ⟹ E (0^{-}, t) = 0 pour tout t .$

Or l'onde incidente seule donne $E_{i} (0, t) = E_{0} cos (ω t) e_{x} \neq = 0$ : la condition aux limites ne peut être satisfaite par l'onde incidente seule, il existe nécessairement une seconde onde dans $z < 0$ , qui se propage vers les $z$ décroissants (l'onde réfléchie). Pour que la somme s'annule en $z = 0$ à chaque instant, son champ en $z = 0$ doit valoir $- E_{0} cos (ω t) e_{x}$ : même pulsation $ω$ et même direction $e_{x}$ , donc même polarisation rectiligne. Onde plane progressive selon $- e_{z}$ dans le vide, fonction de $t + z / c$ :

$E_{r} (M, t) = - E_{0} cos (ω (t + \frac{z}{c})) e_{x} (z < 0) .$

Le coefficient de réflexion en amplitude vaut $r = - 1$ : réflexion totale avec déphasage de $π$ .

Q2. Par superposition, avec $cos p - cos q = - 2 sin \frac{p + q}{2} sin \frac{p - q}{2}$ :

$E = E_{0} [cos (ω t - \frac{ω z}{c}) - cos (ω t + \frac{ω z}{c})] e_{x} = 2 E_{0} sin (\frac{ω z}{c}) sin (ω t) e_{x},$

$E_{0 t} = 2 E_{0} .$

C'est une onde stationnaire : dépendances en $z$ et en $t$ découplées, nœud de $E$ sur le conducteur ( $z = 0$ ).

Q3. Pour chaque onde plane progressive dans le vide, relation de structure $B = \frac{u \land E}{c}$ ( $u$ : direction de propagation) :

$B_{i} = \frac{e _{z} \land E _{i}}{c} = \frac{E _{0}}{c} cos (ω t - \frac{ω z}{c}) e_{y},$

$B_{r} = \frac{( - e _{z} ) \land E _{r}}{c} = \frac{E _{0}}{c} cos (ω t + \frac{ω z}{c}) e_{y} .$

Avec $cos p + cos q = 2 cos \frac{p + q}{2} cos \frac{p - q}{2}$ :

$B (M, t) = \frac{2 E _{0}}{c} cos (\frac{ω z}{c}) cos (ω t) e_{y} (z < 0) .$

Vérification par Maxwell-Faraday : $rot E = \frac{\partial E _{x}}{\partial z} e_{y} = \frac{2 E _{0} ω}{c} cos (\frac{ω z}{c}) sin (ω t) e_{y} = - \frac{\partial B}{\partial t}$ . Les nœuds de $E$ sont des ventres de $B$ (décalage de $λ /4$ ) et les deux champs sont en quadrature temporelle.

Q4. Densité volumique d'énergie électromagnétique :

100 % gratuit

La suite du corrigé est sur Adloun

Le corrigé rédigé en entier, question par question, et le tuteur pour poser des questions sur ce sujet.

Voir le corrigé complet, gratuitement

Inscription gratuite en 30 secondes (e-mail, nom d'utilisateur, mot de passe, classe ou profil), sans carte bancaire : arrivée directe sur le corrigé.

Toutes les parties de l'épreuve

Corrigé complet gratuit →