Corrigé Centrale 2026 Physique-chimie 1 MPI — Partie B (I-II) (Q12 à Q20) : Énergie de point zéro de l'oscillateur harmonique et premier modèle de l'effet Casimir

Sujet officiel du concours Centrale, session 2026, épreuve Physique-chimie 1 MPI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

I. Oscillateur harmonique quantique. Particule de masse $m$ sur $(O x)$ , énergie potentielle $\frac{1}{2} m ω_{0}^{2} x^{2}$ , énergie totale $\frac{1}{2} m ω_{0}^{2} x^{2} + \frac{p _{x}^{2}}{2 m}$ ; état stationnaire lié normalisé $ψ (x, t) = φ (x) exp (- i E t /ℏ)$ , $φ$ réelle. Inégalité de Heisenberg spatiale $Δ x Δ p_{x} ⩾ ℏ/2$ , avec $Δ x^{2} = ⟨(x - ⟨ x ⟩)^{2} ⟩$ , $Δ p_{x}^{2} = ⟨(p_{x} - ⟨ p_{x} ⟩)^{2} ⟩$ , $⟨ x ⟩ = \int x ∣ ψ ∣^{2} d x$ et $⟨ p_{x} ⟩ = - i ℏ \int ψ^{*} \frac{\partial ψ}{\partial x} d x$ (intégrales sur $R$ ).

Q12. Équation différentielle vérifiée par $φ$ ; condition de normalisation.
Q13. Par la parité de $φ$ , justifier $⟨ x ⟩ = 0$ .
Q14. Justifier $⟨ p_{x} ⟩ = 0$ .
Q15. Exprimer $E$ en fonction de $Δ x$ , $Δ p_{x}$ , $m$ , $ω_{0}$ .
Q16. Montrer $E ⩾ f_{H} (Δ x)$ et que le minimum de $f_{H}$ vaut $ℏ ω_{0} /2$ .

II. Effet Casimir. Par analogie, un mode du champ de pulsation $ω$ possède dans son état fondamental (aucun photon) l'énergie de point zéro $ℏ ω /2$ . Cavité de longueur $a$ à $T = 0$ : énergie $ℏ k_{z} c /2$ par mode, $k_{z, n} = nπ / a$ , $n \in N^{*}$ .

Q17. Énergie de la cavité comme somme sur les modes ; pourquoi est-elle inacceptable ?

Troncature au rang $n_{0} ≫ 1$ : $E (a) = \frac{ℏ π c}{4 a} n_{0} (n_{0} + 1)$ . Pour une cavité de longueur $a ~ ≫$ dimensions transverses, les modes $k_{z, n} = nπ / a ~$ forment un continuum de densité $ρ_{k_{z}}$ et $E_{\infty} = \int_{0}^{n_{0} π / a} \frac{ℏ k _{z} c}{2} ρ_{k_{z}} d k_{z}$ .

Q18. Exprimer $E_{\infty}$ en fonction de $a ~$ , $n_{0}$ , $a$ , $c$ , $ℏ$ .
Q19. Exprimer $E_{Cas} = E (a) - E_{\infty}$ pour $n_{0} ≫ 1$ et $a ≪ a ~$ .
Q20. L'effet est-il attractif ou répulsif ( $E_{Cas}$ tend à diminuer) ?

Corrigé

Q12. La fonction d'onde obéit à l'équation de Schrödinger avec $V (x) = \frac{1}{2} m ω_{0}^{2} x^{2}$ . Pour $ψ = φ (x) e^{- i E t /ℏ}$ , $i ℏ \frac{\partial ψ}{\partial t} = E ψ$ ; après simplification par le facteur de phase, jamais nul :

$- \frac{ℏ ^{2}}{2 m} \frac{d ^{2} φ}{d x ^{2}} + \frac{1}{2} m ω_{0}^{2} x^{2} φ (x) = E φ (x) (e ˊ quation de Schr o ¨ dinger stationnaire) .$

Normalisation : la probabilité de trouver la particule quelque part vaut 1. Comme $∣ ψ ∣^{2} = φ^{2}$ ( $φ$ réelle) :

$\int_{- \infty}^{+ \infty} φ^{2} (x) d x = 1,$

ce qui impose $φ \to 0$ en $\pm \infty$ (état lié).

Q13. Le potentiel est pair : $V (- x) = V (x)$ . Si $φ (x)$ est solution de l'équation de Q12 pour l'énergie $E$ , alors $χ (x) = φ (- x)$ l'est aussi, pour la même énergie (la dérivée seconde est invariante par $x \to - x$ ). À une dimension, un état lié n'est pas dégénéré : $χ$ est proportionnelle à $φ$ , $φ (- x) = λ φ (x)$ ; en appliquant deux fois, $λ^{2} = 1$ , donc $φ$ est paire ou impaire. Dans les deux cas $φ^{2}$ est paire et $x φ^{2} (x)$ est impaire, d'où, sur un intervalle symétrique :

$⟨ x ⟩ = \int_{- \infty}^{+ \infty} x φ^{2} (x) d x = 0.$

Q14. Le facteur de phase se compense entre $ψ^{*}$ et $\partial ψ / \partial x$ :

$⟨ p_{x} ⟩ = - i ℏ \int_{- \infty}^{+ \infty} φ (x) φ^{'} (x) d x = - i ℏ [\frac{φ ^{2}}{2}]_{- \infty}^{+ \infty} = 0,$

car $φ \to 0$ en $\pm \infty$ (Q12). Autre argument : $φ φ^{'}$ est impaire (produit d'une fonction paire et d'une impaire). Remarque : $⟨ p_{x} ⟩$ est une grandeur physique réelle alors que $- i ℏ \times (r e ˊ el)$ est imaginaire pur ; la seule possibilité est $0$ .

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