Corrigé Centrale 2026 Physique-chimie 1 MPI — Partie B (III) (Q21 à Q25) : Énergie et force de Casimir : calcul numérique, loi en a puissance -4, analyse dimensionnelle

Sujet officiel du concours Centrale, session 2026, épreuve Physique-chimie 1 MPI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Cavité de longueur $a$ selon $(O z)$ et de côté $L$ selon $(O x)$ et $(O y)$ entre deux conducteurs parfaits ; à $T = 0$ , chaque mode a l'énergie de point zéro $ℏ ω /2$ . Modes $k = (n_{x} π / L, n_{y} π / L, n_{z} π / a)$ . On note $E (a)$ l'énergie (modes discrets), $E_{\infty}$ celle d'un continuum de modes et $E_{Cas} (a) = E (a) - E_{\infty}$ .

On admet $E_{Cas} (a) = - \frac{ℏ c L ^{2}}{2 π} f (a)$ , $f (a) = \int_{0}^{\infty} g (u, a) u d u$ et $g (u, a) = a \int_{0}^{\infty} u^{2} + k_{z}^{2} d k_{z} - \frac{u}{2} - \sum_{n_{z} = 1}^{\infty} u^{2} + (n_{z} π / a)^{2}$ , calculée en tronquant la série à $n_{0}$ termes, l'intégrale à $[0, n_{0} π / a]$ (rectangles à droite, $n_{0} N$ intervalles).

Q21. Compléter les lignes 12, 17 et 19 du script Python (fonction g).

{ Figure 2 — $f (a)$ en échelle log-log (base 10), obtenue par une méthode plus précise.}

Q22. En déduire $E_{Cas} (a) = - B / a^{ξ}$ , $ξ$ entier à préciser, $B > 0$ .
Q23. La force ressentie par la paroi en $z = - a$ dérive de $E_{Cas}$ : l'exprimer en fonction de $B$ et $a$ . Commenter.
Q24. Force surfacique de la forme $κ a^{α} c^{β} ℏ^{δ}$ : trouver $α$ , $β$ , $δ$ , puis $B$ .
Q25. Avec $κ = π^{2} /240$ : différence de pression $Δ P_{Cas}$ (extérieur moins intérieur) ; force pour $L^{2} = 1 c m^{2}$ , $a = 100 nm$ puis $a = 1 mm$ . Commenter.

Données : $ℏ = 1, 05 \times 1 0^{- 34} J \cdot s$ , $c = 2, 99 \times 1 0^{8} m \cdot s^{- 1}$ .

Corrigé

Q21. Ligne 12 : terme de la somme des rectangles à droite, intégrande évaluée au bord droit $k_{droite}$ de chaque intervalle ; ligne 17 : terme $n_{z} = j$ de la série tronquée ; ligne 19 : assemblage de $g$ (le facteur $a$ et le pas sont déjà appliqués ligne 13).


def g(u, a):
    # Évaluation de l'intégrale par la méthode des rectangles à droite
    s1 = 0
    dk = np.pi / (a * N)  # Pas de discrétisation
    for i in range(n0 * N):
        k_droite = (i + 1) * dk
        s1 = s1 + np.sqrt(u**2 + k_droite**2)
    s1 = a * s1 * dk
    s2 = 0
    # Évaluation de la série en la tronquant
    for j in range(1, n0 + 1):
        s2 = s2 + np.sqrt(u**2 + (j * np.pi / a)**2)
    # Évaluation de g(u, a)
    return s1 - u / 2 - s2

Le pas $d k = π / (a N)$ découpe bien $[0, n_{0} π / a]$ en $n_{0} N$ intervalles. La fonction f calcule ensuite $\int_{0}^{\infty} g u d u$ par la méthode du point milieu sur $[0, n_{0} π / a]$ (même troncature).

Q22. Sur la figure 2, quand $a$ passe de $1 0^{- 7}$ à $1 0^{- 5} m$ (deux décades), $f$ passe d'environ $8 \times 1 0^{19}$ à $8 \times 1 0^{13}$ (six décades) : les points sont alignés sur une droite de pente $- 6/2 = - 3$ en log-log. Donc $f (a) = C / a^{3}$ avec $C > 0$ , et

$E_{Cas} (a) = - \frac{ℏ c L ^{2}}{2 π} \cdot \frac{C}{a ^{3}} = - \frac{B}{a ^{ξ}}, ξ = 3, B = \frac{ℏ c L ^{2} C}{2 π} > 0.$

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