Corrigé Centrale 2026 Physique-chimie 1 MPI — Partie C (I-II) (Q26 à Q30) : Mesure sphère-plan (approximation de proximité) et pression de radiation thermique

Sujet officiel du concours Centrale, session 2026, épreuve Physique-chimie 1 MPI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

I. Configuration sphère-plan (Harris et al., 2000). Une sphère de rayon $R = 100 μ m$ , fixée à un micro-levier de microscope à force atomique (lamelle d'environ $100 μ m$ , force mesurée à quelques piconewtons près), est approchée d'un plan ; surfaces dorées, supposées parfaitement conductrices, au même potentiel, sous vide et à basse température. La distance minimale $d$ (de $60$ à $900 nm$ ) est mesurée par interférométrie laser ; précision de la force : $2%$ .

{ Figure 3 — Principe de l'expérience (pas à l'échelle) ; à droite dans le sujet, une photo du micro-levier.}

{ Figure 4 — Force de Casimir mesurée en fonction de $d$ (valeurs négatives : attraction).}

Q26. Avantage pratique de la configuration sphère-plan sur la configuration plan-plan ?

Pour $d ≪ R$ (approximation de proximité), chaque couronne de la sphère, de rayon $x$ , interagit avec le plan situé en face, à la distance $H = d + e$ , avec la loi en $a$ de Q23--Q24 où $a \to H$ .

{ Figure 5 — Configuration sphère-plan.}

Q27. En reliant $e$ , $x$ et $R$ , pour $d \sim 100 nm$ , montrer que seules les couronnes proches du point de plus courte approche contribuent.

Une analyse plus poussée donne $F_{s p} = \frac{π ^{3} ℏ c R}{360 d ^{3}} η_{E}$ , $η_{E}$ facteur de correction (figure 6).

{ Figure 6 — Facteur de correction en énergie $η_{E}$ en fonction de $d$ (abscisse logarithmique).}

Q28. Évaluer $F_{s p}$ pour $d = 100 nm$ ; comparer à la figure 4.

II. Température non nulle. Retour au plan-plan, $a = 100 nm$ ; les photons thermiques exercent une pression de radiation. Loi de Wien : $λ_{m} T \approx 3 \times 1 0^{- 3} m \cdot K$ ; loi de Planck : $u_{ω} (ω, T) = \frac{ℏ ω ^{3}}{π ^{2} c ^{3}} \frac{1}{e ^{ℏ ω / k_{B} T} - 1}$ ; $\int_{0}^{\infty} \frac{x ^{3}}{e ^{x} - 1} d x = \frac{π ^{4}}{15}$ ; $k_{B} = 1, 38 \times 1 0^{- 23} J \cdot K^{- 1}$ .

Q29. Ordre de grandeur de la longueur d'onde $λ_{T}$ du rayonnement thermique ambiant ; conséquence pour la cavité, d'après Q11.
Q30. Avec Q8 et $u (T) = \int_{0}^{\infty} u_{ω} d ω$ , ordre de grandeur de la pression de radiation thermique sur la face externe des plans ; comparer à $Δ P_{Cas}$ (Q25) et conclure.

Corrigé

Q26. En configuration plan-plan, la force dépend de la distance en $a^{- 4}$ : il faut maintenir deux plans de $1 cm$ de côté parallèles à mieux que quelques nanomètres près sur toute leur surface, soit un défaut d'angle inférieur à $\sim 1 0^{- 7} rad$ , avec des surfaces parfaitement planes et sans poussière (une poussière micrométrique interdit $a = 100 nm$ ). C'est pratiquement irréalisable. En configuration sphère-plan :

la géométrie est invariante par rotation de la sphère : aucun réglage de parallélisme, la distance $d$ est simplement la plus courte distance entre la sphère et le plan ;
l'interaction est localisée sur une petite zone (voir Q27) : seule une petite portion des surfaces doit être propre et lisse ;
la sphère, collée au micro-levier, se déplace et mesure la force avec l'instrumentation standard du microscope à force atomique.

Q27. Géométrie. Un point de la sphère situé à la distance $x$ de l'axe est à la hauteur $e$ au-dessus du point le plus bas. Dans le triangle rectangle formé avec le centre $O$ :

$(R - e)^{2} + x^{2} = R^{2} ⟹ x^{2} = 2 R e - e^{2} ≃ 2 R e soit e ≃ \frac{x ^{2}}{2 R} (e ≪ R) .$

Contribution d'une couronne. La couronne de rayon $x$ et de largeur $d x$ , d'aire $2 π x d x = 2 π R d e$ , est soumise d'après Q24 à la pression de Casimir $κ ℏ c / H^{4}$ avec $H = d + e$ :

$d F = \frac{κ ℏ c}{( d + e ) ^{4}} 2 π R d e .$

Elle décroît comme $H^{- 4}$ : dès que $e$ dépasse $d$ , la contribution chute d'un facteur supérieur à $2^{4} = 16$ . Estimation : pour $R = 100 μ m$ et $d = 100 nm$ , $e = d$ correspond à

$x_{1} = 2 R d = 2 \times 1 0^{- 4} \times 1 0^{- 7} = 4, 5 \times 1 0^{- 6} m = 4, 5 μ m ≪ R .$

Plus précisément, en intégrant de $e$ à l'infini (la sphère est alors assimilée à son paraboloïde osculateur, les contributions lointaines étant négligeables),

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