Corrigé Centrale 2026 Physique-chimie 1 MPI — Partie C (III) (Q31 à Q39) : Conducteurs imparfaits : modèle du plasma, pulsation plasma et facteur correctif

Q31. Système : un électron de conduction, dans le référentiel du métal (supposé galiléen) ; c'est le principe fondamental de la dynamique.

• $m^{\ast }\mathrm{d}\overrightarrow{v}/\mathrm{d}t$ : terme d'inertie ; la masse effective $m^{\ast }$ résume l'effet moyen des interactions de l'électron avec le réseau d'ions et les autres électrons (modèle d'électron « quasi libre ») ;
• $-e\overrightarrow{E}$ : force électrique exercée par le champ de l'onde ;
• $-e\overrightarrow{v}\wedge \overrightarrow{B}$ : force magnétique de Lorentz due au champ magnétique de l'onde.

Sont négligés : le poids, les collisions (relaxation, pas de terme de frottement $-m^{\ast }\overrightarrow{v}/\tau$) et toute force de rappel (électrons libres).

Pour une opph, la relation de structure donne $\Vert \overrightarrow{B}\Vert =\frac{k}{\omega }\Vert \overrightarrow{E}\Vert =\frac{\Vert \overrightarrow{E}\Vert }{v_{\phi }}$ ($v_{\phi }$ vitesse de phase ; $\Vert \overrightarrow{B}\Vert =\Vert \overrightarrow{E}\Vert /c$ dans le vide). Donc

$$\frac{\Vert \overrightarrow{v}\wedge \overrightarrow{B}\Vert }{\Vert \overrightarrow{E}\Vert }⩽\frac{v\Vert \overrightarrow{B}\Vert }{\Vert \overrightarrow{E}\Vert }=\frac{v}{v_{\phi }}.$$

On néglige la force magnétique si $v\ll v_{\phi }$ : pour $v_{\phi }⩾c$, il suffit que les électrons soient non relativistes ($v\ll c$).

Q32. Les ions obéissent à la même équation avec une charge opposée (ou $+Ze$) et une masse $M$ de $5\times 10^4$ (Al) à $4\times 10^5$ (Au) fois plus grande ($1836$ fois la masse de l'électron par nucléon). Leur vitesse, en $eE/(M\omega )$, est plus petite dans le même rapport : leur contribution à la densité de courant $\overrightarrow{ȷ}=n_i(+e){\overrightarrow{v}}_i+n_e(-e){\overrightarrow{v}}_e$ est négligeable (ils sont de plus liés au réseau).

En notation complexe, $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\to \mathrm{i}\omega$ :

$$\mathrm{i}\omega m^{\ast }\underline{\overrightarrow{v}}=-e\underline{\overrightarrow{E}}⟹\underline{\overrightarrow{v}}=\frac{-e}{\mathrm{i}\omega m^{\ast }}\underline{\overrightarrow{E}},\underline{\overrightarrow{ȷ}}=-n_{e}e\underline{\overrightarrow{v}}=\frac{n_e{e}^2}{\mathrm{i}{m}^{\ast }\omega }\underline{\overrightarrow{E}},$$

$$\boxed{\underline{\sigma }=\frac{n_e{e}^2}{\mathrm{i}{m}^{\ast }\omega }=-\mathrm{i}\frac{n_e{e}^2}{m^{\ast }\omega }}$$

Conductivité imaginaire pure : courant en quadrature avec $\overrightarrow{E}$, puissance moyenne cédée aux électrons nulle (pas de dissipation, faute de relaxation).

Q33. Équations de Maxwell dans le plasma, localement neutre ($\rho =0$) : $\mathrm{div}\overrightarrow{B}=0$, $\overrightarrow{\mathrm{rot}}\underline{\overrightarrow{E}}=-\mathrm{i}\omega \underline{\overrightarrow{B}}$ (Maxwell-Faraday) et, d'après Maxwell-Ampère avec la loi d'Ohm complexe,

$$\overrightarrow{\mathrm{rot}}\underline{\overrightarrow{B}}={\mu }_0\underline{\overrightarrow{ȷ}}+{\mu }_0{\epsilon }_0\mathrm{i}\omega \underline{\overrightarrow{E}}={\mu }_0(\underline{\sigma }+\mathrm{i}\omega {\epsilon }_0)\underline{\overrightarrow{E}}.$$

On prend le rotationnel, avec $\overrightarrow{\mathrm{rot}}(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{X})=\overrightarrow{\mathrm{grad}}(\mathrm{div}\overrightarrow{X})-\Delta \overrightarrow{X}$ et $\mathrm{div}\overrightarrow{B}=0$ :