Corrigé Centrale 2026 Physique-chimie 1 PSI — Partie A (Q1 à Q10) : Transfert filaire : adaptation d'impédance et transfert résonnant

Q1. Circuit à une seule maille, régime continu. La loi des mailles donne l'intensité $I=e_0/(r_i+r_e)$, et la puissance reçue par le récepteur (convention récepteur, loi de Joule) est

$$P_g=r_e{I}^2=\frac{r_e{e}_0^2}{(r_i+r_e{)}^2}=e_0^2\frac{r_e}{r_e^2+2r_i{r}_e+r_i^2}.$$

C'est la fonction $f$ de l'énoncé avec $x=r_e$, $a=r_i$ et $k=1>-1$ : à $e_0$ et $r_i$ fixés, $P_g$ est maximale pour

$$\boxed{r_e=r_i}\text{et alors}\boxed{P_{g,\max }=\frac{e_0^2}{4r_i}.}$$

(Vérification directe : $\mathrm{d}{P}_g/\mathrm{d}{r}_e=e_0^2(r_i-r_e)/(r_i+r_e{)}^3$ s'annule en changeant de signe en $r_e=r_i$.)

Q2. En régime sinusoïdal forcé, les impédances ${\underline{Z}}_i$ et ${\underline{Z}}_e$ sont en série. Loi des mailles en complexes et diviseur de tension :

$${\underline{i}}_e=\frac{\underline{e}}{{\underline{Z}}_i+{\underline{Z}}_e},{\underline{u}}_e={\underline{Z}}_e{\underline{i}}_e=\frac{{\underline{Z}}_e}{{\underline{Z}}_i+{\underline{Z}}_e}\underline{e}.$$

Q3. La puissance moyenne (active) reçue par un dipôle d'impédance ${\underline{Z}}_e=Z_e{\mathrm{e}}^{j{\phi }_e}$ parcouru par un courant de valeur efficace $I_{e,\mathrm{eff}}$ est

$$P_a=U_{e,\mathrm{eff}}{I}_{e,\mathrm{eff}}\cos {\phi }_e=\mathrm{Re}({\underline{Z}}_e)I_{e,\mathrm{eff}}^2=Z_e\cos {\phi }_e{I}_{e,\mathrm{eff}}^2.$$

D'après Q2, $I_{e,\mathrm{eff}}=E_{0,\mathrm{eff}}/\left|{\underline{Z}}_i+{\underline{Z}}_e\right|$, avec ${\left|{\underline{Z}}_i+{\underline{Z}}_e\right|}^2=(Z_i\cos {\phi }_i+Z_e\cos {\phi }_e{)}^2+(Z_i\sin {\phi }_i+Z_e\sin {\phi }_e{)}^2=Z_i^2+Z_e^2+2Z_i{Z}_e\cos ({\phi }_e-{\phi }_i)$. D'où

$$\boxed{P_a=\frac{E_{0,\mathrm{eff}}^2{Z}_e\cos {\phi }_e}{Z_e^2+2Z_i{Z}_e\cos ({\phi }_e-{\phi }_i)+Z_i^2}.}$$

Q4. Avec ${\phi }_i=-{\phi }_e$, $\cos ({\phi }_e-{\phi }_i)=\cos (2{\phi }_e)$ :

$$P_a=E_{0,\mathrm{eff}}^2\cos {\phi }_e\frac{Z_e}{Z_e^2+2\cos (2{\phi }_e)Z_i{Z}_e+Z_i^2}.$$

C'est encore la fonction $f$ avec $x=Z_e$, $a=Z_i$ et $k=\cos (2{\phi }_e)>-1$ (pour un récepteur qui consomme, $\left|{\phi }_e\right|<\pi /2$). Le maximum est atteint pour $\boxed{Z_e=Z_i}$ ; avec ${\phi }_e=-{\phi }_i$, cela signifie ${\underline{Z}}_e={\underline{Z}}_i^{\ast }$. Alors ${\underline{Z}}_i+{\underline{Z}}_e=2Z_i\cos {\phi }_i$ est réel, et

$$P_{a,\max }=\frac{E_{0,\mathrm{eff}}^2\cos {\phi }_e}{2Z_i(1+\cos 2{\phi }_e)}=\boxed{\frac{E_{0,\mathrm{eff}}^2}{4Z_i\cos {\phi }_i}=\frac{E_{0,\mathrm{eff}}^2}{4\mathrm{Re}({\underline{Z}}_i)}}$$

(on retrouve la forme de Q1 avec $r_i\to \mathrm{Re}({\underline{Z}}_i)$). Le même courant traverse ${\underline{Z}}_i$, dont la partie réelle est égale à celle de ${\underline{Z}}_e$ :

$$P_{\mathrm{diss}}=\mathrm{Re}({\underline{Z}}_i)I_{e,\mathrm{eff}}^2=\mathrm{Re}({\underline{Z}}_e)I_{e,\mathrm{eff}}^2=P_{a,\max }.$$

Commentaire. À l'adaptation, le générateur fournit $2P_{a,\max }$ dont la moitié est perdue dans sa propre impédance : le rendement n'est que de $50\%$. L'adaptation maximise la puissance reçue à générateur donné, pas le rendement ; elle convient au traitement du signal (antennes, audio, capteurs) où les puissances sont faibles, jamais au transport d'énergie (le réseau travaille avec $\mathrm{Re}({\underline{Z}}_i)\ll \mathrm{Re}({\underline{Z}}_e)$).