Corrigé Centrale 2026 Physique-chimie 1 PSI — Partie B (Q11 à Q18) : Transfert sans contact : condensateur à effets de bord, Monte-Carlo, couplage par mutuelle

Sujet officiel du concours Centrale, session 2026, épreuve Physique-chimie 1 PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

I — Couplage capacitif.

Chaussée et véhicule sont couplés par deux condensateurs $C_{m 1}$ , $C_{m 2}$ à armatures carrées parallèles de côté $ℓ$ , distantes de $d$ , séparées par de l'air (figure 4). Figure 5 : équipotentielles calculées d'un condensateur plan d'armatures à $- V_{0}$ (en haut) et $+ V_{0}$ (en bas), $V_{0} = 100 V$ , pour $d = 11 cm$ et $ℓ = 48 cm$ . $ε_{0} = 8, 85 \times 1 0^{- 12} F \cdot m^{- 1}$ .

Figure 4 — Couplage capacitif sans contact.

Figure 5 — Équipotentielles (pointillés : négatives), espacées de $10 V$ .

Q11. Tracer $E$ et les lignes de champ orientées en $A$ , $B$ , $C$ ; évaluer $E$ en $A$ et en $C$ .
Q12. Densité d'énergie $u_{E}$ ; capacité $C_{0} (d, ℓ, ε_{0})$ pour un champ uniforme confiné entre les armatures ; valeur.
Q13. Justifier que $C_{r e ˊ el} > C_{0}$ (effets de bord).

Modèle : $C_{r e ˊ el} = C_{0} (1 + κ (d / ℓ)^{β})$ ; figure 6 : dix mesures et régression $y = 0, 927 x + 0, 819$ .

Figure 6 — $y = ln ((C_{r e ˊ el} - C_{0}) / C_{0})$ en fonction de $x = ln (d / ℓ)$ .

Q14. Évaluer $κ$ et $β$ ; calculer $C_{r e ˊ el}$ pour le condensateur de la figure 5.

Script de Monte-Carlo ( $u_{y} = 0, 05$ , $x_{i}$ exacts, $N = 1 0^{4}$ ) : la boucle for i in range(N) construit une liste Y_i (lignes 19--20 : for j in range(...) et Y_i.append(...)), puis a_i, b_i = ... (ligne 21), ajoutés aux listes a, b ; ensuite kappa = np.exp(b_m) (l. 30) et u_kappa = kappa*u_b (l. 31), b_m, u_b étant moyenne et écart-type de b. Outils : polyfit, random.uniform.

Q15. Compléter les lignes 19 à 21 ; justifier les lignes 30 et 31.

II — Couplage magnétique.

Bobines couplées ( $M > 0$ avec les orientations de la figure 7, $η = M / L_{1} L_{2}$ ) : $L_{1} = 50 μ H$ , $L_{2} = 30 μ H$ , $η = 0, 7$ , $f = 120 kHz$ , $U_{e, eff} = 9 V$ .

Figure 7 — Couplage magnétique.

Q16. Relations entre $u_{e}$ , $u_{s}$ , $i_{e}$ , $i_{s}$ ; simplification pour $L_{1} C_{1} ω^{2} = L_{2} C_{2} ω^{2} = 1$ ; rôle des condensateurs ; calculer $C_{1}$ .
Q17. Batterie équivalente à $R = 10Ω$ : diagramme de Fresnel de $i_{e}$ (référence), $u_{e}$ , $u_{s}$ , $i_{s}$ ; puissance $P$ transférée.
Q18. Avec $C_{1} = 40 nF$ : nouveau diagramme, variation de $P$ à $U_{e, eff}$ inchangée.

Corrigé

Q11. Le champ électrostatique dérive du potentiel, $E = - grad V$ : il est perpendiculaire aux équipotentielles et orienté vers les potentiels décroissants, donc de l'armature inférieure ( $+ V_{0}$ ) vers l'armature supérieure ( $- V_{0}$ ). Symétries : le plan $x = 0$ est plan de symétrie de la distribution ( $E$ y est contenu, donc $E_{x} = 0$ sur l'axe) ; le plan $y = 0$ est plan d'antisymétrie ( $V \to - V$ ), $E$ lui est perpendiculaire et $V = 0$ sur ce plan.

En $A$ (entre les armatures) : $E$ vertical, vers le haut ( $+ e_{y}$ ). La ligne de champ est le segment vertical qui part de l'armature $+ V_{0}$ et aboutit à l'armature $- V_{0}$ .
En $B$ (hors des armatures, un peu au-dessus du plan médian) : $E$ essentiellement vers le haut, légèrement incliné vers le condensateur ; la ligne de champ quitte le bord de l'armature inférieure, contourne l'extrémité à l'extérieur et revient sur le bord de l'armature supérieure.
En $C$ (sous l'armature inférieure, sur l'axe) : $E$ vertical vers le bas ( $- e_{y}$ ), car $V$ décroît de $+ 100 V$ (armature) à $+ 80 V$ en s'éloignant. Par symétrie, la ligne de champ est la demi-droite $x = 0$ issue de la face externe de l'armature inférieure et qui s'éloigne vers les conducteurs lointains au potentiel nul.

Lignes de champ (bleu, orientées) et vecteurs $E$ (rouge, longueurs non à l'échelle) en $A$ , $B$ , $C$ .

Normes. Le potentiel varie de $10 V$ entre deux équipotentielles voisines ; $E ≃ ∣ Δ V ∣ /Δ s$ , où $Δ s$ est leur écartement mesuré le long de la normale.

En $A$ : entre les armatures, les équipotentielles sont équidistantes ( $20$ intervalles de $10 V$ sur $d = 11 cm$ ), le champ est uniforme : $E_{A} ≃ \frac{2 V _{0}}{d} = \frac{200}{0 , 11} \approx 1, 8 \times 1 0^{3} V \cdot m^{- 1}$ .
En $C$ : $C$ est entre les équipotentielles $+ 90 V$ ( $y \approx - 8, 5 cm$ ) et $+ 80 V$ ( $y \approx - 11, 5 cm$ ) : $E_{C} ≃ \frac{10}{3 \times 1 0 ^{- 2}} \approx 3 \times 1 0^{2} V \cdot m^{- 1}$ .

Le champ extérieur, non nul, est environ six fois plus faible qu'entre les armatures.

Q12. La densité volumique d'énergie électrique dans le vide (ou l'air) est

$u_{E} = \frac{ε _{0} E ^{2}}{2} .$

Si le champ est uniforme, $E = U / d$ entre les armatures (tension $U$ entre elles), et nul ailleurs, l'énergie emmagasinée est $u_{E}$ multipliée par le volume $ℓ^{2} d$ :

$U_{E} = \frac{ε _{0}}{2} \frac{U ^{2}}{d ^{2}} ℓ^{2} d = \frac{1}{2} \frac{ε _{0} ℓ ^{2}}{d} U^{2} .$

Par identification avec l'énergie d'un condensateur, $U_{E} = \frac{1}{2} C_{0} U^{2}$ :

$C_{0} = \frac{ε _{0} ℓ ^{2}}{d} = \frac{8 , 85 \times 1 0 ^{- 12} \times 0 , 4 8 ^{2}}{0 , 11} \approx 1, 9 \times 1 0^{- 11} F = 19 pF (18, 5 pF) .$

Homogénéité : $ε_{0}$ en $F \cdot m^{- 1}$ , $ℓ^{2} / d$ en $m$ .

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