Corrigé Centrale 2026 Physique-chimie 1 PSI — Partie C (I et II) (Q19 à Q25) : Wattmètre à effet Hall et cristal d'arséniure d'indium

Q19. Un porteur de charge $q_i$ et de vitesse ${\overrightarrow{v}}_i$ subit la force de Lorentz

$${\overrightarrow{f}}_{L,i}=q_i\left(\overrightarrow{E}+{\overrightarrow{v}}_i\wedge {\overrightarrow{B}}_0\right).$$

Système : un porteur, dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen, poids négligeable devant les forces électromagnétiques. Principe fondamental de la dynamique :

$$m_i\frac{\mathrm{d}{\overrightarrow{v}}_i}{\mathrm{d}t}=q_i\left(\overrightarrow{E}+{\overrightarrow{v}}_i\wedge {\overrightarrow{B}}_0\right)-{\lambda }_i{\overrightarrow{v}}_i.$$

En régime stationnaire, $\mathrm{d}{\overrightarrow{v}}_i/\mathrm{d}t=\overrightarrow{0}$ (atteint après quelques ${\tau }_i=m_i/{\lambda }_i$), d'où

$${\overrightarrow{v}}_{i,s}=\frac{q_i}{{\lambda }_i}\left(\overrightarrow{E}+{\overrightarrow{v}}_{i,s}\wedge {\overrightarrow{B}}_0\right),\boxed{{\mu }_i=\frac{q_i}{{\lambda }_i}.}$$

La mobilité est ici algébrique : du signe de la charge (négative pour les électrons, d'où ${\mu }_e=-3,3{\mathrm{m}}^2\cdot {\mathrm{V}}^{-1}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$ dans les données). Unité : ${\mathrm{m}}^2\cdot {\mathrm{V}}^{-1}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$ (${\lambda }_i$ en $\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$).

Q20. Pour les seuls électrons, $\overrightarrow{j}=n_e(-e){\overrightarrow{v}}_{e,s}$, donc ${\overrightarrow{v}}_{e,s}=-\overrightarrow{j}/(n_{e}e)$. En multipliant la relation de Q19 par $-n_{e}e$ :

$$\overrightarrow{j}=-n_{e}e{\mu }_e\left(\overrightarrow{E}-\frac{1}{n_{e}e}\overrightarrow{j}\wedge {\overrightarrow{B}}_0\right),$$

d'où, par identification,

$$\boxed{\gamma =-n_{e}e{\mu }_e=n_{e}e\left|{\mu }_e\right|,K_H=-\frac{1}{n_{e}e}.}$$

$\gamma >0$ est la conductivité (loi d'Ohm locale en l'absence de champ magnétique) ; $K_H$, constante de Hall, est négative pour des porteurs négatifs ; son unité est bien ${\mathrm{m}}^3\cdot {\mathrm{C}}^{-1}$.

Q21. D'après Q20, $\left|K_H\right|=1/(n_{e}e)$ :

$$n_e=\frac{1}{e\left|K_H\right|}=\frac{1}{1,602\times 10^{-19}\times 9,98\times 10^{-5}}\approx 6,3\times 10^{22}{\mathrm{m}}^{-3},$$

$$\gamma =n_{e}e\left|{\mu }_e\right|=\frac{\left|{\mu }_e\right|}{\left|K_H\right|}=\frac{3,3}{9,98\times 10^{-5}}\approx 3,3\times 10^4\mathrm{S}\cdot {\mathrm{m}}^{-1}.$$

Pour un métal usuel (cuivre), $\gamma \approx 6\times 10^7\mathrm{S}\cdot {\mathrm{m}}^{-1}$ et $n\approx 8\times 10^{28}{\mathrm{m}}^{-3}$ (un électron libre par atome) : InAs conduit environ $2\times 10^3$ fois moins bien et a un million de fois moins de porteurs. Or l'effet Hall est d'autant plus marqué que $\left|K_H\right|=1/(ne)$ est grand : pour le cuivre $\left|K_H\right|\approx 7\times 10^{-11}{\mathrm{m}}^3\cdot {\mathrm{C}}^{-1}$, un million de fois plus petit. De plus (Q22) la sensibilité $A_H$ est proportionnelle à la mobilité, très grande dans InAs ($3,3{\mathrm{m}}^2\cdot {\mathrm{V}}^{-1}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$ contre $4\times 10^{-3}$ dans le cuivre). Un semi-conducteur donne une tension de Hall mesurable, là où un métal ne donnerait que des nanovolts.