Corrigé Centrale 2026 Physique-chimie 1 PSI — Partie C (III) (Q26 à Q34) : Multiplicateur numérique à modulation de largeur d'impulsion et oscillateur à réseau déphaseur

Sujet officiel du concours Centrale, session 2026, épreuve Physique-chimie 1 PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Le montage de la figure 11 calcule le produit $u (t) i (t)$ . Le signal $u$ est échantillonné-bloqué à la période $T_{e}$ : $u_{ech} (t) = u_{n} = u (n T_{e})$ pour $t \in [n T_{e}, (n + 1) T_{e}]$ . Les ALI sont idéaux, de tensions de saturation $\pm V_{sat}$ .

Figure 11 — Multiplicateur numérique (ECHT : échantillonneur, MOD : modulateur, INT : intégrateur, OSC : oscillateur, qui synchronise les deux ECHT).

Q26. Spectre de $u$ dans $[0, F]$ : condition de Nyquist-Shannon.

L'oscillateur délivre une rampe $s_{r} (t)$ de période $T_{e}$ , de $- U_{0}$ à $+ U_{0}$ ( $∣ u ∣ < U_{0}$ ) ; un comparateur simple donne $S (t)$ (figure 12).

Figure 12 — Signaux.

Q27. $S > 0$ pendant $α_{n} T_{e}$ sur $[n T_{e}, (n + 1) T_{e}]$ : exprimer $α_{n} (u_{n}, U_{0})$ .
Q28. Exprimer $v_{i} (t)$ en fonction de $i (t)$ et $R$ ; intérêt du montage.

$v_{i}$ est échantillonné de même : $v_{i, ech} = v_{i, n} = v_{i} (n T_{e})$ . Dans le modulateur (figure 13), l'interrupteur idéal $K$ est fermé si $S > 0$ , ouvert si $S < 0$ .

Figure 13 — Modulateur.

Q29. Exprimer $v_{i, mod}$ en fonction de $v_{i, ech}$ selon le signe de $S$ .
Q30. Proposer un montage actif intégrateur de $v_{e} (t)$ ; expression de sa sortie.

L'intégrateur fournit $v_{m} (t) = - \frac{1}{τ} \int_{n T_{e}}^{t} v_{i, mod} (t^{'}) d t^{'}$ pour $t \in] n T_{e}, (n + 1) T_{e}]$ .

Q31. Exprimer $v_{m, n} = v_{m} ((n + 1) T_{e})$ en fonction de $u_{n}$ , $i_{n} = i (n T_{e})$ et des constantes ; conclure.

L'oscillateur est à réseau déphaseur (trois cellules $R C$ , figure 14), de fonction de transfert $H = \frac{v}{v _{e}} = \frac{1}{1 - \frac{5}{( R C ω ) ^{2}} + \frac{1}{j R C ω} ( 6 - \frac{1}{( R C ω ) ^{2}} )}$ .

Figure 14 — Oscillateur à réseau déphaseur.

Q32. Nature du filtre.
Q33. Gain $G = v_{s} / v$ de l'amplificateur ; $K^{'}$ fermé, condition sur $G$ et $H$ pour que $v_{s}$ soit sinusoïdale ; en déduire $ω_{osc}$ et la valeur de $G$ .
Q34. Pour contrôler l'amplitude $A_{osc}$ de $v_{s}$ , on remplace $R^{'}$ par $R_{com} = R_{0} + \frac{r}{1 + A _{osc} / V _{0}}$ (1) ou $R_{com} = R_{0} - \frac{r}{1 + A _{osc} / V _{0}}$ (2) ( $R_{0}$ , $r$ , $V_{0} > 0$ ). Laquelle stabilise les oscillations, et pourquoi ? Valeur de $r$ pour $A_{osc} = 7 V$ avec $R = 5 kΩ$ , $R_{0} = 125 kΩ$ , $V_{0} = 5 V$ .

Corrigé

Q26. Le théorème de Nyquist-Shannon impose une fréquence d'échantillonnage strictement supérieure au double de la plus haute fréquence du spectre :

$f_{e} = \frac{1}{T _{e}} > 2 F .$

En pratique on prend une marge (et un filtre anti-repliement en amont), car les échantillons doivent aussi représenter fidèlement le produit $u i$ , dont le spectre s'étend jusqu'à la somme des fréquences maximales des deux signaux.

Q27. Comparateur simple : l'ALI est en boucle ouverte, $S = + V_{sat}$ si $ε = V_{+} - V_{-} = u_{ech} - s_{r} > 0$ , $S = - V_{sat}$ sinon (entrée $+$ reliée à $u_{ech}$ , entrée $-$ à $s_{r}$ sur la figure 11 ; c'est cohérent avec la figure 12, où $S = + V_{sat}$ en début de période, quand $s_{r} = - U_{0} < u_{n}$ ). Sur $[n T_{e}, (n + 1) T_{e}]$ , $u_{ech} = u_{n}$ et la rampe s'écrit

$s_{r} (t) = - U_{0} + 2 U_{0} \frac{t - n T _{e}}{T _{e}} .$

$S > 0$ tant que $s_{r} (t) < u_{n}$ , soit $t - n T_{e} < \frac{T _{e}}{2} (1 + \frac{u _{n}}{U _{0}})$ :

$α_{n} = \frac{1}{2} (1 + \frac{u _{n}}{U _{0}}) \in] 0; 1 [car ∣ u_{n} ∣ < U_{0} .$

Le rapport cyclique est une fonction affine de l'échantillon : c'est une modulation de largeur d'impulsion. (Figure 12 : $α_{0} \approx 0, 65$ correspond à $u_{0} \approx 0, 3 U_{0}$ .)

Q28. L'ALI est idéal ( $i_{+} = i_{-} = 0$ ) et en régime linéaire, grâce à la rétroaction de $R$ sur l'entrée inverseuse : $V_{-} = V_{+} = 0$ (masse virtuelle). Le courant $i$ arrivant sur le nœud de l'entrée $-$ ne peut pas entrer dans l'ALI : il traverse entièrement $R$ vers la sortie, et la loi d'Ohm donne $V_{-} - v_{i} = R i$ , soit

$v_{i} = - R i .$

Intérêt : c'est un convertisseur courant-tension (transimpédance). Son entrée est à la masse virtuelle : il mesure $i$ sans introduire de chute de tension ni perturber le circuit étudié (ampèremètre idéal), et il délivre une tension, sous faible impédance de sortie, qu'on peut échantillonner comme $u$ .

Q29. L'ALI est rebouclé sur son entrée inverseuse par $R$ : régime linéaire, $V_{+} = V_{-}$ et courants d'entrée nuls. Au nœud de l'entrée $-$ (théorème de Millman, deux résistances $R$ égales) :

$V_{-} = \frac{v _{i, ech} + v _{i, mod}}{2} .$

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