Corrigé Centrale 2026 Physique-chimie 2 MP — Partie B.I et B.II (Q10 à Q18) : Principe de la mesure et échauffement hors contact : ailette chauffée par effet Joule

Sujet officiel du concours Centrale, session 2026, épreuve Physique-chimie 2 MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Le filament de platine rhodié (demi-longueur $L = 100 μ m$ , rayon $R = 2, 5 μ m$ ) est modélisé par une ailette cylindrique rectiligne de longueur $2 L$ , de section $S = π R^{2}$ , d'axe $(O x)$ , $x = 0$ au milieu de la pointe (figure 3). Régime permanent sauf mention contraire ; pas d'échange avec l'air ni de rayonnement ; toute section est isotherme, de température $T (x)$ ; échauffement $θ (x) = T (x) - T_{0}$ avec $T_{0} = 2 0^{\circ} C$ . Les fils de Wollaston sont des thermostats : $θ (- L) = θ (L) = 0$ .

{Figure 3 — a) Géométrie de la pointe. b) Modélisation du filament par une ailette rectiligne}

Courant continu $I_{0}$ ; $Δ U_{DC}$ : variation de la tension aux bornes de la pointe à la mise en contact ; $θ_{hc} (x)$ et $θ_{ec} (x)$ : échauffements hors contact et en contact ; $⟨ F ⟩$ : valeur moyenne sur $[- L, L]$ . Résistance des fils de Wollaston $R_{W} = 1, 5 \times 1 0^{- 3} Ω$ . Résistivité admise : $ρ_{0} (1 + a ⟨ θ ⟩)$ . Données du platine rhodié : $c = 0, 15 kJ \cdot K^{- 1} \cdot k g^{- 1}$ , $λ = 38 W \cdot m^{- 1} \cdot K^{- 1}$ , $μ = 19, 9 \times 1 0^{3} kg \cdot m^{- 3}$ , $ρ_{0} = 1, 9 \times 1 0^{- 7} Ω \cdot m$ , $a = 1, 66 \times 1 0^{- 3} K^{- 1}$ .

Q10. Résistance $R_{0}$ du filament à $T_{0}$ ; application numérique.
Q11. Pourquoi la tension aux bornes de la pointe est-elle celle du filament ?
Q12. Montrer que $Δ U_{DC}$ est proportionnelle à $⟨ Δ θ ⟩$ , $Δ θ = θ_{ec} - θ_{hc}$ .
Q13. Établir $μ c S \partial_{t} T = λ S \partial_{x}^{2} T + p_{J, lin}$ ( $p_{J, lin}$ : puissance Joule linéique).
Q14. $p_{J, lin}$ en fonction de $ρ_{0}$ , $I_{0}$ , $S$ .
Q15. Équation différentielle de $θ_{hc} (x)$ en régime permanent.
Q16. Montrer $θ_{hc} = - \frac{J}{2} x^{2} + A x + B$ avec $J = \frac{ρ _{0} I _{0}^{2}}{λ S ^{2}}$ ; exprimer $A$ et $B$ .
Q17. Tracer $θ_{hc} (x)$ sur $[- L, L]$ .
Q18. Calculer $⟨ θ_{hc} ⟩$ ; application numérique pour $I_{0} = 50 mA$ .

Corrigé

Q10. Le filament est un conducteur ohmique cylindrique de longueur $2 L$ et de section $S$ , de résistivité uniforme $ρ_{0}$ à $T_{0}$ :

$R_{0} = \frac{ρ _{0} ( 2 L )}{S} = \frac{2 ρ _{0} L}{π R ^{2}} = \frac{2 \times 1 , 9 \times 1 0 ^{- 7} \times 100 \times 1 0 ^{- 6}}{π \times ( 2 , 5 \times 1 0 ^{- 6} ) ^{2}} \approx 1, 9Ω,$

avec $S = π R^{2} = 1, 96 \times 1 0^{- 11} m^{2}$ (plus précisément $R_{0} = 1, 94Ω$ ).

Q11. Les fils de Wollaston et le filament sont en série, parcourus par le même courant $I_{0}$ ; la tension mesurée vaut $U = (R_{p} + R_{W}) I_{0}$ , où $R_{p} ⩾ R_{0}$ est la résistance du filament. Or

$\frac{R _{W}}{R _{0}} = \frac{1 , 5 \times 1 0 ^{- 3}}{1 , 94} \approx 8 \times 1 0^{- 4} ≪ 1 :$

les fils de Wollaston, gros et en argent très conducteur, ne contribuent qu'à moins de $0, 1%$ de la tension. De plus, étant des thermostats à $T_{0}$ , leur résistance ne change pas à la mise en contact : toute la variation $Δ U_{DC}$ provient du filament.

Q12. Avec la résistivité effective $ρ_{0} (1 + a ⟨ θ ⟩)$ , la résistance du filament est $R_{p} = \frac{2 L ρ _{0} ( 1 + a ⟨ θ ⟩)}{S} = R_{0} (1 + a ⟨ θ ⟩)$ . Le courant $I_{0}$ étant imposé (source de courant), la tension vaut $U = R_{0} (1 + a ⟨ θ ⟩) I_{0}$ (Q11). Entre les deux états, hors contact puis en contact :

$Δ U_{DC} = R_{0} a I_{0} (⟨ θ_{ec} ⟩ - ⟨ θ_{hc} ⟩) = a R_{0} I_{0} ⟨ Δ θ ⟩,$

par linéarité de la valeur moyenne. La constante de proportionnalité $a R_{0} I_{0}$ est connue : mesurer $Δ U_{DC}$ , c'est mesurer $⟨ Δ θ ⟩$ (négatif : le contact refroidit la pointe, la tension baisse).

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