Corrigé Centrale 2026 Physique-chimie 2 MP — Partie B.III (Q19 à Q28) : Flux transmis au contact : conductances thermiques en série, estimation du rayon et de la conductance de contact

Sujet officiel du concours Centrale, session 2026, épreuve Physique-chimie 2 MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

La pointe (notations des Q10 à Q18, $J = ρ_{0} I_{0}^{2} / (λ S^{2})$ , $θ_{hc} (x) = \frac{J}{2} (L^{2} - x^{2})$ ) touche l'échantillon en $x = 0$ . Échange pointe-échantillon : conductance thermique de contact $G_{c}$ constante. Dans l'échantillon (conductivité $λ_{e}$ ), la température est uniforme, égale à $T_{1}$ , dans une demi-boule de rayon $b$ centrée au point de contact ; au-delà, diffusion radiale jusqu'à l'infini où la température vaut $T_{0}$ , décrite par la conductance $G_{e}$ (figure 4). Échauffement en contact : $θ_{ec} (x)$ . Les équations des Q13 et Q15 restent valables sur $] - L, 0 [$ et $] 0, L [$ ; en $x = 0$ , le flux $Φ$ cédé à l'échantillon est prélevé à parts égales sur les deux moitiés du filament. On note $j_{x} (x) = j \cdot e_{x}$ la densité de flux thermique dans le filament.

{Figure 4 — Modélisation thermique du contact en régime permanent}

Q19. Montrer que $G_{e} = 2 π λ_{e} b$ .
Q20. Justifier $Φ = G θ_{ec} (0)$ ; exprimer $G$ en fonction de $λ_{e}$ , $b$ , $G_{c}$ .
Q21. Signes de $Φ$ , $j_{x} (0^{-})$ et $j_{x} (0^{+})$ .
Q22. Exprimer $\frac{d θ _{ec}}{d x} (0^{+})$ en fonction de $λ$ , $G$ , $S$ , $θ_{ec} (0)$ .
Q23. Montrer que, pour $x > 0$ , $θ_{ec} (x) = \frac{J}{2} (- x^{2} + \frac{u}{1 + u} Lx + \frac{L ^{2}}{1 + u})$ ; exprimer $u$ en fonction de $G$ , $λ$ , $S$ , $L$ .
Q24. Tracer $θ_{ec} (x)$ sur $[- L, L]$ .
Q25. Exprimer $Δ θ (x) = θ_{ec} (x) - θ_{hc} (x)$ pour $x > 0$ .
Q26. En déduire $⟨ Δ θ ⟩$ , puis $∣ ⟨ Δ θ ⟩ ∣ / ⟨ θ_{hc} ⟩$ en fonction de $u$ seul.
Q27. Pourquoi, sur la figure 5, des matériaux très conducteurs ( $λ_{e} ≫ λ$ ) comme le tantale et le titane donnent-ils des variations relatives comparables malgré des conductivités différentes ?
Q28. (Question d'initiative.) Estimer, à partir de la figure 5, le rayon de contact $b$ et la conductance $G_{c}$ .

{Figure 5 — Variation relative de la puissance dissipée à travers la pointe pour différents matériaux}

Corrigé

Q19. Hypothèses : régime permanent, échantillon homogène occupant le demi-espace sous la surface, sans source ; surface libre adiabatique (échanges avec l'air négligés) ; par la symétrie de révolution autour de la normale au point de contact et le modèle de la demi-boule isotherme, $T$ ne dépend que de la distance $r$ au point de contact et $j = j_{r} (r) e_{r}$ pour $r > b$ .

Le flux traversant la demi-sphère de rayon $r$ est $Φ (r) = j_{r} (r) \times 2 π r^{2}$ . Un bilan d'énergie sur la coque comprise entre $r$ et $r + d r$ , en régime permanent et sans source, donne $Φ (r) = Φ (r + d r)$ : le flux est conservatif, $Φ (r) = Φ$ . Avec la loi de Fourier $j_{r} = - λ_{e} \frac{d T}{d r}$ :

$\frac{d T}{d r} = - \frac{Φ}{2 π λ _{e} r ^{2}} ⟹ T (r) = T_{0} + \frac{Φ}{2 π λ _{e} r} (car T \to T_{0} a ˋ l’infini) .$

En $r = b$ , $T (b) = T_{1}$ , d'où $T_{1} - T_{0} = \frac{Φ}{2 π λ _{e} b}$ et, par définition de la conductance thermique ( $Φ = G_{e} (T_{1} - T_{0})$ , inverse de la résistance thermique),

$G_{e} = 2 π λ_{e} b .$

C'est la moitié de la conductance $4 π λ_{e} b$ d'une sphère dans un milieu infini : seule la moitié de l'espace conduit. Unité : $W \cdot m^{- 1} \cdot K^{- 1} \cdot m = W \cdot K^{- 1}$ .

Q20. En régime permanent, la demi-boule n'accumule pas d'énergie : le même flux $Φ$ traverse le contact (de la pointe, à la température $T (0) = T_{0} + θ_{ec} (0)$ , vers la demi-boule à $T_{1}$ ) puis l'échantillon (de $T_{1}$ vers $T_{0}$ ). Les deux conductances sont en série :

$T (0) - T_{1} = \frac{Φ}{G _{c}}, T_{1} - T_{0} = \frac{Φ}{G _{e}} ⟹ θ_{ec} (0) = Φ (\frac{1}{G _{c}} + \frac{1}{G _{e}}) .$

Donc $Φ = G θ_{ec} (0)$ , avec

$\frac{1}{G} = \frac{1}{G _{c}} + \frac{1}{2 π λ _{e} b} ⟺ G = \frac{2 π λ _{e} b G _{c}}{G _{c} + 2 π λ _{e} b} .$

Q21. Le flux $Φ$ est compté de la pointe vers l'échantillon (flèche de la figure 4) ; le filament cède de l'énergie : $Φ > 0$ . Cette énergie arrive au point de contact par conduction depuis les deux moitiés du filament : à gauche, elle circule dans le sens des $x$ croissants, $j_{x} (0^{-}) > 0$ ; à droite, dans le sens des $x$ décroissants, $j_{x} (0^{+}) < 0$ . Précisément, un bilan sur une tranche infiniment mince entourant $x = 0$ (volume nul, donc pas de terme d'accumulation ni de source) donne $S j_{x} (0^{-}) - S j_{x} (0^{+}) = Φ$ ; le partage à parts égales impose

$j_{x} (0^{-}) = \frac{Φ}{2 S} > 0, j_{x} (0^{+}) = - \frac{Φ}{2 S} < 0.$

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