Corrigé Centrale 2026 Physique-chimie 2 MP — Partie C.I (Q29 à Q42) : Méthode 3ω : réponse thermique en fréquence, asymptotes, dimensions de la pointe

Q29. Avec la résistivité ${\rho }_0$ (variations négligées), la tranche $\mathrm{d}x$ reçoit $\mathrm{d}P={\rho }_0\frac{\mathrm{d}x}{S}{i}^2(t)$ (Q14), d'où

$$p_{\mathrm{J},\mathrm{lin}}(t)=\frac{{\rho }_0{I}_0^2}{S}{\cos }^2(\omega t)=\frac{{\rho }_0{I}_0^2}{2S}+\frac{{\rho }_0{I}_0^2}{2S}\cos (2\omega t):$$

une contribution constante (la valeur moyenne) et une contribution de pulsation $2\omega$ (la puissance Joule ne dépend pas du signe du courant). L'équation de Q13 devient

$$\mu cS\frac{\partial T}{\partial t}=\lambda S\frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2}+\frac{{\rho }_0{I}_0^2}{2S}[1+\cos (2\omega t)].$$

Q30. L'équation en $\theta =T-T_0$ est linéaire à coefficients constants, avec des conditions aux limites homogènes $\theta (\pm L,t)=0$ ; le second membre est la somme d'un terme constant et d'un terme sinusoïdal de pulsation $2\omega$. Par superposition, $\theta ={\theta }_1+{\theta }_2$ :

• ${\theta }_1$, réponse au terme constant : après extinction du régime transitoire (amorti par la diffusion en une durée de l'ordre de $L^2\mu c/\lambda$), elle est stationnaire, ${\theta }_1={\theta }_{\mathrm{DC}}(x)$ ;
• ${\theta }_2$, réponse au terme en $\cos (2\omega t)$ : en régime forcé établi, elle est sinusoïdale de même pulsation $2\omega$ en tout point, d'amplitude et de phase dépendant de $x$ : ${\theta }_{\mathrm{AC}}(x)\cos (2\omega t+\varphi (x))$.

${\theta }_{\mathrm{DC}}$ vérifie $\lambda S{\theta }_{\mathrm{DC}}^{\prime \prime }+\frac{{\rho }_0{I}_0^2}{2S}=0$ avec ${\theta }_{\mathrm{DC}}(\pm L)=0$ : c'est le problème de Q15 avec une source deux fois plus faible. Par linéarité,

$${\theta }_{\mathrm{DC}}(x)=\frac{{\theta }_{\mathrm{hc}}(x)}{2}=\frac{J}{4}(L^2-x^2),$$

où ${\theta }_{\mathrm{hc}}$ est l'échauffement hors contact pour un courant continu $I_0$ (le courant alternatif a la valeur efficace $I_0/\sqrt{2}$).

Q31. La résistance électrique suit instantanément la température (Q12) : $R_{\mathrm{p}}(t)=R_0(1+a⟨\theta ⟩(t))$. Comme $\varphi$ ne dépend pas de $x$, $⟨{\theta }_{\mathrm{AC}}(x)\cos (2\omega t+\varphi )⟩=⟨{\theta }_{\mathrm{AC}}⟩\cos (2\omega t+\varphi )$, d'où

$$R_{\mathrm{p}}(t)=R_0[1+a⟨{\theta }_{\mathrm{DC}}⟩+a⟨{\theta }_{\mathrm{AC}}⟩\cos (2\omega t+\varphi )].$$

Q32. La tension aux bornes de la pointe est $u(t)=R_{\mathrm{p}}(t)i(t)$ (la contribution des fils de Wollaston, de résistance constante, est négligeable et sans harmonique, Q11) :

$$u(t)=R_0{I}_0(1+a⟨{\theta }_{\mathrm{DC}}⟩)\cos (\omega t)+a{R}_0{I}_0⟨{\theta }_{\mathrm{AC}}⟩\cos (2\omega t+\varphi )\cos (\omega t).$$

Avec $\cos (2\omega t+\varphi )\cos (\omega t)=\frac{1}{2}[\cos (3\omega t+\varphi )+\cos (\omega t+\varphi )]$, la tension contient, outre le fondamental, une harmonique de pulsation $3\omega$ :

$$u_{3\omega }(t)=U_{3\omega }\cos (3\omega t+{\phi }_{3\omega }),U_{3\omega }=\frac{a{R}_0{I}_0}{2}⟨{\theta }_{\mathrm{AC}}⟩,{\phi }_{3\omega }=\varphi .$$

La mesure de l'harmonique $3\omega$ donne donc directement l'amplitude et la phase de l'oscillation thermique moyenne ; en complexe, ${\underline{U}}_{3\omega }=\frac{a{R}_0{I}_0}{2}⟨{\underline{\theta }}_{\mathrm{AC}}⟩$.

Q33. On reporte $\theta ={\theta }_{\mathrm{DC}}(x)+\mathrm{Re}({\underline{\theta }}_{\mathrm{AC}}(x){\mathrm{e}}^{2j\omega t})$ dans l'équation de Q29 écrite pour $\theta$. Les termes indépendants du temps se compensent (définition de ${\theta }_{\mathrm{DC}}$). Les termes de pulsation $2\omega$ donnent, en notation complexe ($\partial /\partial t\to 2j\omega$ et $\cos (2\omega t)\to {\mathrm{e}}^{2j\omega t}$) :

$$\mu cS(2j\omega ){\underline{\theta }}_{\mathrm{AC}}=\lambda S\frac{{\mathrm{d}}^2{\underline{\theta }}_{\mathrm{AC}}}{\mathrm{d}{x}^2}+\frac{{\rho }_0{I}_0^2}{2S}.$$

En divisant par $\lambda S$ :

$$\frac{{\mathrm{d}}^2{\underline{\theta }}_{\mathrm{AC}}}{\mathrm{d}{x}^2}-{\underline{m}}^2{\underline{\theta }}_{\mathrm{AC}}=-\frac{{\rho }_0{I}_0^2}{2\lambda S^2}=-\frac{J}{2},{\underline{m}}^2=2j\omega \frac{\mu c}{\lambda }.$$

${\left|\underline{m}\right|}^{-1}=\sqrt{\lambda /(2\omega \mu c)}$ est une longueur : l'épaisseur de pénétration thermique à la pulsation $2\omega$.

Q34. Solution particulière constante $J/(2{\underline{m}}^2)$ ; solutions de l'équation homogène $\alpha {\mathrm{e}}^{\underline{m}x}+\beta {\mathrm{e}}^{-\underline{m}x}$. Le problème est symétrique (source uniforme, $\theta (\pm L,t)=0$ à chaque instant, donc ${\underline{\theta }}_{\mathrm{AC}}(\pm L)=0$) : ${\underline{\theta }}_{\mathrm{AC}}$ est paire, $\alpha =\beta$. La condition en $x=L$ :

$$\frac{J}{2{\underline{m}}^2}+\alpha ({\mathrm{e}}^{\underline{m}L}+{\mathrm{e}}^{-\underline{m}L})=0⟺\alpha =-\frac{J}{2{\underline{m}}^2}\frac{1}{{\mathrm{e}}^{\underline{m}L}+{\mathrm{e}}^{-\underline{m}L}},$$

d'où

$${\underline{\theta }}_{\mathrm{AC}}(x)=\frac{J}{2{\underline{m}}^2}\left(1-\frac{{\mathrm{e}}^{\underline{m}x}+{\mathrm{e}}^{-\underline{m}x}}{{\mathrm{e}}^{\underline{m}L}+{\mathrm{e}}^{-\underline{m}L}}\right)=\frac{J}{2{\underline{m}}^2}\left(1-\frac{\mathrm{ch}(\underline{m}x)}{\mathrm{ch}(\underline{m}L)}\right).$$