Corrigé Centrale 2026 Physique-chimie 2 MP — Partie C.II (Q43 à Q46) : Traitement électronique : pont de Wheatstone et extraction de l'harmonique 3

Sujet officiel du concours Centrale, session 2026, épreuve Physique-chimie 2 MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

L'harmonique $3 ω$ de la tension aux bornes de la pointe est environ $1000$ fois plus faible que le fondamental. Pour la mesurer, la pointe (résistance $R_{p}$ , notations de la partie C.I) est placée dans un pont de Wheatstone alimenté par $e (t) = E cos (ω t)$ (figure 7), avec $R_{1} = 1 kΩ$ , $R_{2} = 220Ω$ et une résistance réglable $R_{c}$ ; le voltmètre, d'impédance infinie, mesure $v (t)$ entre $A$ et $B$ .

{Figure 7 — Pont de Wheatstone ; la pointe est la résistance grisée $R_{p}$ }

Q43. Exprimer $i (t)$ en fonction de $e (t)$ et des résistances utiles.
Q44. Montrer qu'avec ce choix de $R_{2}$ , un doublement de $R_{p}$ par rapport à sa valeur à $T_{0}$ fait varier l'amplitude $I_{0}$ de $i (t)$ de moins de $1%$ ; commenter.
Q45. Montrer que $v (t) = \frac{R _{1} R _{p} - R _{2} R _{c}}{R _{c} + R _{1}} i (t)$ .
Q46. (Question d'initiative.) Proposer une valeur de $R_{c}$ pour que le fondamental de $v (t)$ ait une amplitude du même ordre que l'harmonique $3$ , proportionnelle à $⟨ θ_{AC} ⟩$ .

Corrigé

Q43. Orientation de la figure 7 : $e (t)$ est la tension entre le sommet supérieur du pont et son sommet inférieur, $i (t)$ le courant qui traverse $R_{p}$ de $A$ vers le sommet inférieur, $v (t) = V_{A} - V_{B}$ . Le voltmètre, d'impédance infinie, ne prélève aucun courant : $R_{2}$ et $R_{p}$ sont parcourues par le même courant $i$ et forment une branche soumise à $e (t)$ . La loi des mailles donne

$e (t) = (R_{2} + R_{p}) i (t) ⟺ i (t) = \frac{e ( t )}{R _{2} + R _{p}},$

dans l'approximation des régimes quasi stationnaires (et même si $R_{p}$ varie lentement dans le temps, puisque la relation est instantanée).

Q44. L'amplitude du courant est $I_{0} = \frac{E}{R _{2} + R _{p}}$ . Quand $R_{p}$ passe de $R_{0}$ à $2 R_{0}$ :

$\frac{I _{0} ( 2 R _{0} ) - I _{0} ( R _{0} )}{I _{0} ( R _{0} )} = \frac{R _{2} + R _{0}}{R _{2} + 2 R _{0}} - 1 = - \frac{R _{0}}{R _{2} + 2 R _{0}} = - \frac{1 , 94}{220 + 3 , 9} \approx - 0, 87%,$

avec $R_{0} = 1, 94Ω$ (Q10) : la variation est inférieure à $1%$ en valeur absolue. Un doublement de résistance correspond pourtant à un échauffement moyen $⟨ θ ⟩ = 1/ a \approx 600 K$ , bien supérieur aux échauffements réels (une centaine de kelvins au plus, Q18) : en pratique la variation de $I_{0}$ est encore bien plus faible.

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