Corrigé Centrale 2026 Physique-chimie 2 MPI — Partie A (I et II) (Q1 à Q5) : Départ plongé en natation : portée et angle optimaux, énergie d'un 100 m en crawl

Sujet officiel du concours Centrale, session 2026, épreuve Physique-chimie 2 MPI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

I – Le départ plongé.

Le nageur, de masse $m$ , est assimilé à son centre de masse $M$ , qui quitte le plot à l'altitude $H_{0}$ au-dessus de l'eau avec une vitesse de norme $v_{0}$ inclinée de $α$ sur l'horizontale ; on néglige l'air et l'inclinaison du plot. Il entre dans l'eau en $E$ , à la distance horizontale $L_{1}$ du bord, sous l'angle $β$ (non orienté) avec la surface.

Données : $H_{0} = 1, 3 m$ , $v_{0} = 5, 0 m \cdot s^{- 1}$ , $g = 9, 81 m \cdot s^{- 2}$ , $m = 75 kg$ , $1 cal = 4, 18 J$ .

Figure 2 — Modélisation du départ plongé ( $α$ orienté, positif ici ; $β$ angle absolu).

Figure 3 — Distance $L_{1}$ et durée du plongeon en fonction de l'angle de départ $α$ .

Q1. Exprimer la durée de vol $t_{1}$ jusqu'en $E$ , puis $L_{1}$ , en fonction de $H_{0}$ , $v_{0}$ , $g$ , $α$ .
Q2. Le nageur étant plus rapide hors de l'eau, lire sur la figure 3 la distance $L_{1}$ idéale, l'angle $α$ correspondant (en degrés) et la durée du plongeon ; vérifier cette durée par Q1.
Q3. Montrer que la norme $v_{E}$ de la vitesse d'entrée dans l'eau ne dépend pas de $α$ ; la calculer.
Q4. Exprimer $β$ en fonction de $L_{1}$ , $v_{0}$ , $g$ , $α$ ; l'évaluer dans le cas de Q2 ; inconvénient d'un $β$ proche de $π /2$ ou de $0$ ?

II – Le 100 m nage libre.

Trois études. Étude 1 (figure 4) : le trajet aquatique d'un bras se découpe en cinq phases, ES (entrée, allongement), DC (balayage vers le bas, prise d'appui), IN (balayage interne), UP (balayage vers le haut), EX (sortie). Étude 2 : le « MAD system », rangée de capteurs de force fixes sur lesquels le nageur (bras seuls, flotteur entre les jambes) prend appui à chaque coup de bras sur $18, 9 m$ d'un bassin de 25 m ; la figure 5 donne la force mesurée. Étude 3 : force hydrodynamique sur la main et l'avant-bras, et vitesse de la main, pendant un trajet aquatique en sprint (figure 6).

Figure 5 — « MAD system » : force mesurée sur les $18, 9 m$ instrumentés (entre les pointillés).

Figure 6 — Force sur la main et l'avant-bras, et vitesse de la main, pendant un trajet aquatique.

Q5. Évaluer l'énergie dépensée par un nageur de crawl en sprint sur 100 m ; la comparer aux $205 kcal$ d'une barre chocolatée.

Corrigé

Q1. Système : le point $M$ de masse $m$ ; référentiel terrestre, supposé galiléen ; repère d'origine $O$ à la surface de l'eau à l'aplomb de $M$ , axe $(O x)$ horizontal vers le bassin, axe $(O z)$ vertical ascendant. Bilan des forces : le poids $m g = - m g e_{z}$ seul (frottements de l'air négligés). Le principe fondamental de la dynamique donne $a = - g e_{z}$ ; en intégrant deux fois avec $x (0) = 0$ , $z (0) = H_{0}$ , $x ˙ (0) = v_{0} cos α$ , $z ˙ (0) = v_{0} sin α$ :

$x (t) = v_{0} cos α t, z (t) = H_{0} + v_{0} sin α t - \frac{1}{2} g t^{2} .$

L'entrée dans l'eau a lieu quand $z (t_{1}) = 0$ , soit $\frac{1}{2} g t_{1}^{2} - v_{0} sin α t_{1} - H_{0} = 0$ . Des deux racines de ce trinôme (de produit $- 2 H_{0} / g < 0$ ), seule la positive a un sens :

$t_{1} = \frac{v _{0} sin α + v _{0}^{2} sin ^{2} α + 2 g H _{0}}{g}$

$L_{1} = x (t_{1}) = \frac{v _{0} cos α}{g} (v_{0} sin α + v_{0}^{2} sin^{2} α + 2 g H_{0}) .$

Homogénéité : $v_{0} / g$ est un temps, $v_{0}^{2} / g$ une longueur. Ce sont exactement les fonctions tracées sur la figure 3 (par exemple $L_{1} (0) = v_{0} 2 H_{0} / g = 2, 57 m$ , $t_{1} (0) = 2 H_{0} / g = 0, 51 s$ , conformes aux ordonnées à l'origine lues).

Q2. Plus rapide dans l'air que dans l'eau, le nageur a intérêt à parcourir la plus grande distance possible en vol : on cherche le maximum de $L_{1} (α)$ . La courbe de gauche de la figure 3 culmine à

$L_{1, m a x} \approx 3, 6 m pour α \approx 0, 61 rad \approx 3 5^{\circ} .$

La courbe de droite donne, pour $α \approx 0, 61 rad$ , une durée de vol $t_{1} \approx 0, 89 s$ .

Vérification par Q1 avec $α = 3 5^{\circ}$ : $v_{0} sin α = 2, 87 m \cdot s^{- 1}$ , $v_{0}^{2} sin^{2} α + 2 g H_{0} = 8, 22 + 25, 5 = 33, 7 m^{2} \cdot s^{- 2}$ , d'où

$t_{1} = \frac{2 , 87 + 5 , 81}{9 , 81} \approx 0, 88 s, L_{1} = 5, 0 \times cos 3 5^{\circ} \times 0, 88 \approx 3, 6 m,$

en accord avec la lecture. (Le maximum se calcule aussi exactement : $d L_{1} / d α = 0$ donne $sin α^{*} = v_{0} / 2 v_{0}^{2} + 2 g H_{0}$ , soit $α^{*} = 35, 1^{\circ}$ et $L_{1, m a x} = \frac{v _{0}}{g} v_{0}^{2} + 2 g H_{0} = 3, 62 m$ : l'angle optimal est inférieur à $4 5^{\circ}$ car le point de départ est au-dessus du point d'arrivée.)

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