Corrigé Centrale 2026 Physique-chimie 2 MPI — Partie B (III) (Q22 à Q26) : Vélocimétrie laser à franges : interférences de deux ondes planes et vitesse de l'eau

Sujet officiel du concours Centrale, session 2026, épreuve Physique-chimie 2 MPI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Deux faisceaux de diamètre $d_{f}$ , plans, cohérents et de même intensité $I_{0}$ , se croisent dans l'eau (indice pris égal à 1) en faisant chacun l'angle $α$ avec l'axe $(O x)$ (figure 12). Laser argon de longueur d'onde $λ_{0}$ ; amplitudes complexes $s_{1} (M, t) = s_{0} e^{j (ω t - k_{1} \cdot O M)}$ et $s_{2} (M, t) = s_{0} e^{j (ω t - k_{2} \cdot O M)}$ . Des particules d'ensemencement suivent l'écoulement de l'eau selon $(O y)$ à la vitesse $V = V e_{y}$ et émettent un éclair chaque fois qu'elles passent d'une frange sombre à une frange brillante.

Figure 12 — Interférences à deux faisceaux ; $Δ$ : extension de la zone d'interférence selon $(O y)$ .

Données : $λ_{0} = 514 nm$ , $u (λ_{0}) = 10 nm$ ; $α = 6, 0 0^{\circ}$ , $u (α) = 0, 1 0^{\circ}$ ; fréquence des éclairs $f = 1, 200 MHz$ , $u (f) = 0, 050 MHz$ ; laser : puissance $50, 0 mW$ , diamètre de faisceau $d_{f} = 0, 65 mm$ . Pour un produit ou un quotient $y$ de $x_{1}$ et $x_{2}$ : $u (y) / y = (u (x_{1}) / x_{1})^{2} + (u (x_{2}) / x_{2})^{2}$ .

Q22. Exprimer l'intensité $I$ au point $(x, y, z)$ en fonction des grandeurs utiles parmi $I_{0}$ , $λ_{0}$ , $α$ , $x$ , $y$ , $z$ ; décrire la figure d'interférence.
Q23. Définir et exprimer l'interfrange $i$ .
Q24. Exprimer la vitesse $V$ de l'eau ; la calculer avec son incertitude-type.
Q25. Exprimer $Δ$ en fonction de $d_{f}$ et $α$ .
Q26. Établir et calculer la valeur minimale de $d_{f}$ ; conclure sur l'emploi du laser argon.

Corrigé

Q22. D'après la figure 12, les deux vecteurs d'onde sont symétriques par rapport à $(O x)$ , de norme $k = 2 π / λ_{0}$ (indice de l'eau pris égal à 1) :

$k_{1} = \frac{2 π}{λ _{0}} (cos α e_{x} - sin α e_{y}), k_{2} = \frac{2 π}{λ _{0}} (cos α e_{x} + sin α e_{y}) .$

Les deux ondes, cohérentes, se superposent : $s = s_{1} + s_{2}$ . L'intensité est proportionnelle à la moyenne temporelle du carré du signal, soit $I = K s s^{*} /2$ en notation complexe, avec $I_{0} = K s_{0}^{2} /2$ pour une onde seule. Avec $O M = x e_{x} + y e_{y} + z e_{z}$ :

$I = K \frac{s _{0}^{2}}{2} e^{- j k_{1} \cdot O M} + e^{- j k_{2} \cdot O M}^{2} = 2 I_{0} [1 + cos ((k_{2} - k_{1}) \cdot O M)],$

et comme $k_{2} - k_{1} = \frac{4 π sin α}{λ _{0}} e_{y}$ :

$I (x, y, z) = 2 I_{0} [1 + cos (\frac{4 π y sin α}{λ _{0}})] = 4 I_{0} cos^{2} (\frac{2 π y sin α}{λ _{0}}) .$

C'est la formule de Fresnel pour deux ondes de même intensité, avec le déphasage $Δ φ = 4 π y sin α / λ_{0}$ . L'intensité ne dépend ni de $x$ ni de $z$ : dans la zone de recouvrement des faisceaux, les franges sont des plans d'équation $y = constante$ , parallèles au plan $(O x z)$ (donc parallèles à la bissectrice des deux faisceaux et perpendiculaires à l'écoulement), alternativement brillants ( $I = 4 I_{0}$ pour $y = m λ_{0} / (2 sin α)$ , $m \in Z$ ) et sombres ( $I = 0$ ) : contraste maximal, égal à 1. La frange $y = 0$ est brillante (les deux faisceaux sont en phase sur l'axe, conformément à Q21).

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