Corrigé Centrale 2026 Physique-chimie 2 MPI — Partie C (Q27 à Q31) : Plongeon de haut vol : chute freinée dans l'eau, vitesse limite, méthode d'Euler

Sujet officiel du concours Centrale, session 2026, épreuve Physique-chimie 2 MPI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Le plongeur de haut vol (plateforme de 10 m, figure 13 : photographies du plongeoir et des phases du saut) entre dans l'eau à la verticale, tête et mains en avant, à plus de $50, 0 km \cdot h^{- 1}$ . On étudie sa chute verticale dans l'eau. Il a une masse $m$ et, poumons vidés, une masse volumique $ρ_{h} > ρ$ (masse volumique de l'eau). Il subit la poussée d'Archimède, de norme $P_{A} = ρ V g$ ( $V$ volume immergé), et une force de frottement fluide $f = - k v v$ , avec $k = \frac{1}{2} ρ C_{x} S$ ( $C_{x}$ coefficient de traînée, $S$ surface frontale, orthogonale à $v$ ; la figure 14 est une photographie de l'athlète sur laquelle cette surface est délimitée).

Données : $ρ = 1000 kg \cdot m^{- 3}$ , $ρ_{h} = 1076 kg \cdot m^{- 3}$ , $m = 75 kg$ , $g = 9, 81 m \cdot s^{- 2}$ .

Modèle du plongeur	$L / D$	Vitesse ( $m \cdot s^{- 1}$ )	$C_{x}$
Sphère de diamètre $D$		$< 0, 5$	$0, 47$
Sphère de diamètre $D$		$> 1, 5$	$0, 2$
Ellipse (grand axe $L$ , petit axe $D$ )		$> 1, 0$	$0, 04$
Cylindre (hauteur $L$ , diamètre $D$ )	$≃ 5$	$< 0, 5$	$0, 74$
Cylindre (hauteur $L$ , diamètre $D$ )	$≃ 5$	$> 2, 5$	$0, 35$

Tableau 2 (extrait) — Coefficient $C_{x}$ selon la forme et la vitesse.

Q27. Établir l'équation différentielle vérifiée par la norme $v$ de la vitesse du plongeur dans l'eau.
Q28. Montrer l'existence d'une vitesse limite $v_{l i m}$ , l'exprimer en fonction de $k$ , $ρ$ , $ρ_{h}$ , $g$ , $m$ , l'évaluer.

Les équations $\frac{d v}{d t} = - A v^{2} + B$ ( $A$ , $B$ constantes positives) ont pour solution générale $v (t) = k_{1} \frac{1 + exp ( - 2 t / τ + k _{2} )}{1 - exp ( - 2 t / τ + k _{2} )}$ .

Q29. Exprimer $A$ et $B$ en fonction de $k$ , $ρ$ , $ρ_{h}$ , $g$ , $m$ ; puis $k_{1}$ , $k_{2}$ , $τ$ en fonction de $A$ , $B$ et de la vitesse initiale $v_{0}$ dans l'eau.
Q30. Expliquer la méthode d'Euler et compléter les deux lignes du programme fourni : ligne 6, return de la fonction F1(v), qui renvoie le second membre de l'équation de Q27 ; ligne 14, dans la boucle de Euler(F, t0, tf, N, v0), qui calcule les listes valeurs_t et valeurs_v avec le pas h = (tf - t0)/(N - 1) (ici t0 = 0, tf = 10, N = 1000) : valeurs_v.append(…).

La résolution numérique est tracée sur la figure 15 (avec la solution analytique pour $C_{x} = 0, 35$ ).

Figure 15 — Chute du plongeur dans l'eau pour trois coefficients de traînée : vitesse et altitude du centre de masse.

Le temps de réaction humain est d'environ $1 s$ ; bras tendus, les mains sont à $1 m$ du centre de masse.

Q31. Justifier par la figure 15 la profondeur de $5 m$ du bassin de plongeon de haut vol.

Corrigé

Q27. Système : le plongeur, entièrement immergé, de masse $m$ et de volume $V = m / ρ_{h}$ . Référentiel terrestre, supposé galiléen ; axe $(O z)$ vertical ascendant, origine à la surface (comme sur la figure 15). Le mouvement est vertical descendant : $v = - v e_{z}$ avec $v > 0$ la norme de la vitesse. Bilan des forces :

le poids $m g = - m g e_{z}$ ;
la poussée d'Archimède (corps totalement immergé) $P_{A} = + ρ V g e_{z} = + \frac{ρ}{ρ _{h}} m g e_{z}$ ;
la traînée, opposée à la vitesse, $f = - k v v = + k v^{2} e_{z}$ .

Le principe fondamental de la dynamique, projeté sur $- e_{z}$ (sens du mouvement), donne $m \frac{d v}{d t} = m g - \frac{ρ}{ρ _{h}} m g - k v^{2}$ , soit

$\frac{d v}{d t} = - \frac{k}{m} v^{2} + g (1 - \frac{ρ}{ρ _{h}}) avec k = \frac{1}{2} ρ C_{x} S .$

Ce que le correcteur attend : la poussée d'Archimède n'annule pas le poids, car $ρ_{h} > ρ$ (poumons vidés) : le plongeur, livré à lui-même, continue de couler ; il ne peut compter que sur la traînée pour être freiné.

Q28. Le second membre $g (1 - ρ / ρ_{h}) - k v^{2} / m$ est positif pour les petites vitesses et négatif pour les grandes ; il s'annule pour une unique vitesse positive. À l'entrée dans l'eau, $v_{0} \approx 14 m \cdot s^{- 1}$ est grande : $d v / d t < 0$ , le plongeur ralentit, et $v$ décroît vers la valeur qui annule $d v / d t$ , sans pouvoir la franchir (unicité des solutions : la constante $v_{l i m}$ est elle-même solution). Cette vitesse limite, atteinte quand la traînée et la poussée d'Archimède équilibrent le poids, vaut

$v_{l i m} = \frac{m g}{k} (1 - \frac{ρ}{ρ _{h}}) = \frac{m g ( ρ _{h} - ρ )}{k ρ _{h}} .$

Évaluation. $m g (1 - ρ / ρ_{h}) = 75 \times 9, 81 \times (1 - 1000/1076) = 52 N$ (le « poids apparent » ne vaut que $7 %$ du poids). Le plongeur est un cylindre allongé ( $L / D \approx 5$ , tête en bas) et sa vitesse initiale dépasse largement $2, 5 m \cdot s^{- 1}$ : $C_{x} = 0, 35$ (tableau 2). Pour la surface frontale, une section de corps humain vaut de l'ordre de $0, 45 m \times 0, 25 m \approx 0, 1 m^{2}$ ; alors $k = \frac{1}{2} \times 1000 \times 0, 35 \times 0, 1 \approx 18 kg \cdot m^{- 1}$ et

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