Corrigé Centrale 2026 Physique-chimie 2 MPI — Partie D (Q32 à Q40) : Hypothermie en natation marathon : résistances thermiques, rôle de la combinaison

Sujet officiel du concours Centrale, session 2026, épreuve Physique-chimie 2 MPI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Nageur de température interne $T (t)$ uniforme, eau de la Seine à $T_{0} = 1 6^{\circ} C$ ; surface de peau (en $m^{2}$ , $m$ en kg, taille $H$ en cm) $S = 0, 007184 \times m^{0, 425} \times H^{0, 725}$ ; combinaison soufflée à l'argon, d'épaisseur $e$ , de résistance $R_{combi}$ , en contact parfait avec la peau ; entre sa paroi externe ( $T_{paroi}$ ) et l'eau, loi de Newton $j_{cc} = h (T_{paroi} - T_{0}) n$ (résistance $R_{cc}$ ) et rayonnement $Φ_{rad} = ε σ S (T_{paroi}^{4} - T_{0}^{4})$ ; puissance thermique libérée par l'effort $P_{h}$ ; peau en trois couches planes de surface $S$ (épiderme, derme, graisse : épaisseurs $e_{e}$ , $e_{d}$ , $e_{g}$ , conductivités $λ_{e}$ , $λ_{d}$ , $λ_{g}$ ).

Données : $m = 75 kg$ , $H = 175 cm$ , $T_{c} = 37, 0^{\circ} C$ , $c ≃ 3, 5 \times 1 0^{3} J \cdot K^{- 1} \cdot k g^{- 1}$ , $P_{h} = 2, 5 \times 1 0^{2} W$ , $σ = 5, 7 \times 1 0^{- 8} W \cdot m^{- 2} \cdot K^{- 4}$ , $ε = 0, 9$ , $h = 455, 0 W \cdot m^{- 2} \cdot K^{- 1}$ .

Structure	Épaisseur (mm)	Conductivité ( $W \cdot m^{- 1} \cdot K^{- 1}$ )
Épiderme	$0, 08$	$0, 24$
Derme	$2, 0$	$0, 45$
Graisse sous-cutanée	$10, 0$	$0, 19$

Gaz ( $e = 4 mm$ )	$λ$ ( $W \cdot m^{- 1} \cdot K^{- 1}$ )
Air	$0, 05686$
Argon	$0, 04887$
Xénon	$0, 03419$

Tableaux 3 et 4 — Tissus du nageur ; néoprène soufflé au gaz.

Régime stationnaire.

Q32. Établir la résistance thermique de l'épiderme (diffusion unidimensionnelle), puis $R_{peau}$ ; la calculer.
Q33. Exprimer et calculer $R_{cc}$ .
Q34. Pour $Δ T = T_{paroi} - T_{0}$ faible, montrer que $Φ_{rad} \propto Δ T$ ; en déduire $R_{rad}$ (expression, valeur).
Q35. Schéma électrique équivalent donnant $R_{tot}$ (corps--eau) en fonction des quatre résistances ; flux total $Φ_{tot}$ en fonction de $T$ , $T_{0}$ , $R_{tot}$ .
Q36. Simplifier ce schéma, commenter, calculer $R_{tot}$ .

Régime lentement variable

( $Φ_{tot}$ de Q35 reste valable). Q37. Montrer que $\frac{d T}{d t} + \frac{T}{τ} = ξ$ ; exprimer $τ$ et $ξ$ en fonction de $m$ , $c$ , $R_{tot}$ , $T_{0}$ , $P_{h}$ .
Q38. Résoudre, avec $T_{c}$ température du corps hors de l'eau.
Q39. Température $T_{\infty}$ du régime permanent (expression, valeur) ; au bout de combien de temps environ est-elle atteinte avec combinaison ?
Q40. Hypothermie sous $3 5^{\circ} C$ . Sans rayonnement et avec le même $h$ avec ou sans combinaison, durée maximale sans danger d'une épreuve dans l'eau à $1 6^{\circ} C$ , avec puis sans combinaison ; justifier l'obligation de la combinaison sous $1 6^{\circ} C$ (marathon : un peu plus de 2 h).

Corrigé

Q32. Modèle. L'épiderme est une couche plane d'épaisseur $e_{e}$ , de surface $S$ , dont les faces $x = 0$ et $x = e_{e}$ sont aux températures $T_{1}$ et $T_{2}$ , sans source interne. En régime stationnaire, l'équation de la chaleur à une dimension se réduit à $\frac{d ^{2} T}{d x ^{2}} = 0$ : le profil de température est affine, $T (x) = T_{1} - (T_{1} - T_{2}) x / e_{e}$ . La loi de Fourier donne une densité de flux uniforme

$j_{Q} = - λ_{e} \frac{d T}{d x} = λ_{e} \frac{T _{1} - T _{2}}{e _{e}}, Φ = j_{Q} S = \frac{λ _{e} S}{e _{e}} (T_{1} - T_{2}) .$

Par définition de la résistance thermique, $T_{1} - T_{2} = R Φ$ (analogue de la loi d'Ohm) :

$R_{e} = \frac{e _{e}}{λ _{e} S} .$

Les trois couches sont traversées par le même flux (conservation de l'énergie en régime stationnaire, sans source) : leurs résistances sont en série et s'ajoutent,

$R_{peau} = \frac{1}{S} (\frac{e _{e}}{λ _{e}} + \frac{e _{d}}{λ _{d}} + \frac{e _{g}}{λ _{g}}) .$

Application numérique. $S = 0, 007184 \times 7 5^{0, 425} \times 17 5^{0, 725} \approx 1, 90 m^{2}$ . Les trois termes valent $\frac{0 , 08 \times 1 0 ^{- 3}}{0 , 24} = 3, 3 \times 1 0^{- 4}$ , $\frac{2 , 0 \times 1 0 ^{- 3}}{0 , 45} = 4, 4 \times 1 0^{- 3}$ et $\frac{10 , 0 \times 1 0 ^{- 3}}{0 , 19} = 5, 26 \times 1 0^{- 2} m^{2} \cdot K \cdot W^{- 1}$ , de somme $5, 74 \times 1 0^{- 2} m^{2} \cdot K \cdot W^{- 1}$ , d'où

$R_{peau} = \frac{5 , 74 \times 1 0 ^{- 2}}{1 , 90} \approx 3, 0 \times 1 0^{- 2} K \cdot W^{- 1} .$

La graisse, épaisse et peu conductrice, en représente plus de $90 %$ : c'est l'isolant naturel du corps.

Q33. Le flux conducto-convectif sortant par la paroi externe, de surface $S$ , vaut $Φ_{cc} = \iint j_{cc} \cdot n d S = h S (T_{paroi} - T_{0})$ ; en l'identifiant à $T_{paroi} - T_{0} = R_{cc} Φ_{cc}$ :

$R_{cc} = \frac{1}{h S} = \frac{1}{455 , 0 \times 1 , 90} \approx 1, 2 \times 1 0^{- 3} K \cdot W^{- 1} .$

Q34. Factorisons : $T_{paroi}^{4} - T_{0}^{4} = (T_{paroi} - T_{0}) (T_{paroi} + T_{0}) (T_{paroi}^{2} + T_{0}^{2})$ . Si $Δ T ≪ T_{0}$ , alors $T_{paroi} ≃ T_{0}$ dans les deux derniers facteurs, qui valent $2 T_{0}$ et $2 T_{0}^{2}$ (c'est aussi le développement limité au premier ordre de $(T_{0} + Δ T)^{4}$ ) :

$Φ_{rad} ≃ 4 ε σ S T_{0}^{3} Δ T = \frac{T _{paroi} - T _{0}}{R _{rad}} avec R_{rad} = \frac{1}{4 ε σ S T _{0}^{3}} .$

Les températures sont en kelvins : $T_{0} = 289 K$ , $4 ε σ S T_{0}^{3} = 4 \times 0, 9 \times 5, 7 \times 1 0^{- 8} \times 1, 90 \times 28 9^{3} \approx 9, 4 W \cdot K^{- 1}$ , d'où $R_{rad} \approx 0, 11 K \cdot W^{- 1}$ . (On vérifie a posteriori l'hypothèse : avec le flux total de Q36, $Δ T = R_{cc} Φ \approx 1, 2 \times 1 0^{- 3} \times 2, 8 \times 1 0^{2} \approx 0, 3 K ≪ 289 K$ .)

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