Corrigé Centrale 2026 Physique-chimie 2 PSI — Partie A, I.1-I.2 (Q1 à Q8) : Convertisseur linéaire/exponentiel à transistors et compensation de température

Sujet officiel du concours Centrale, session 2026, épreuve Physique-chimie 2 PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Synthétiseur analogique (figure 1 : photo du Minimoog). Données : $k_{B} = 1, 38 \times 1 0^{- 23} J \cdot K^{- 1}$ , $q = 1, 60 \times 1 0^{- 19} C$ .

{Figure 2 — Diagramme simplifié du synthétiseur (tensions repérées par rapport à la masse)}

Demi-ton : rapport $2^{1/12}$ ; octave : douze demi-tons ; La $_{3}$ : $440 Hz$ . La tension $V_{in, 0}$ vaut $- 5 V$ pour le La $_{0}$ et augmente de $1 V$ par octave ( $- 1 V$ : La $_{4}$ ). Ici $V_{in, 0}^{'} = V_{in, 0}$ ; l'OCT délivre une fréquence proportionnelle à $V_{in, 1}$ .

Q1. Pourquoi un convertisseur « linéaire/exponentiel » ? Écrire $V_{in, 1} = V_{ref} exp (α V_{in, 0})$ et évaluer $α$ .

Transistor NPN (figure 3) : $I_{C} = I_{S} (T) exp (V_{B E} / v (T))$ avec $v (T) = k_{B} T / q$ ; $I_{S}$ double quand $T$ augmente de $1 0^{\circ} C$ ; $V_{in, 1}$ est proportionnelle à $I_{C}$ ; $I_{B} = 0$ .

{Figure 3 (à gauche) — Transistor NPN. Figure 4 (à droite) — Convertisseur simplifié, $R = 56, 0 kΩ$ , $R^{'} = 1, 00 kΩ$ }

Q2. Variation $Δ V_{B E}$ qui élève la fréquence d'une octave, en fonction de $v (T)$ ; valeur à $2 0^{\circ} C$ .
Q3. Montrer que le montage de la figure 4 réalise le convertisseur à $2 0^{\circ} C$ .

Une oreille entraînée perçoit une variation relative de fréquence d'environ $0, 0035$ .

Q4. Composants à $3 0^{\circ} C$ : effets séparés de $I_{S} (T)$ et de $v (T)$ sur un La $_{3}$ réglé à $2 0^{\circ} C$ .

Figure 5 : transistors de même $I_{S} (T)$ ; $I_{C 1}$ imposé par un générateur de courant ; $V_{in, 1} \propto I_{C 2}$ .

{Figure 5 — Convertisseur à compensation de température}

Q5. Exprimer $I_{C 2}$ en fonction de $I_{C 1}$ , $V_{B}$ et $v (T)$ .
Q6. Amélioration apportée par rapport à la figure 4 ?
Q7. Base $2 0^{\circ} C$ : variation de température acceptable ? Commenter.

Thermistances CTP : $R (T) = R_{T_{0}} (1 + K (T - T_{0}))$ , toutes de $500Ω$ à $2 0^{\circ} C$ ( $\pm 1%$ ) :

$K$ ( $1 0^{- 6} K^{- 1}$ )	précision sur $K$
500, 600, 700, 800, 900	$\pm 20%$
1000, 1200, 1500, 1800, 2000, 2200	$\pm 15%$
2400, 2700, 2800, 3000, 3300, 3600, 3900, 4200, 4500	$\pm 10%$

Q8. Avec $R^{'} ≪ R$ (base $2 0^{\circ} C$ ), modifier le circuit de la figure 5 pour compenser au mieux la température ; nouvelle variation acceptable ; conclure.

Corrigé

Q1. Nécessité du convertisseur. La hauteur d'une note est repérée par une échelle logarithmique en fréquence : monter d'une octave multiplie $f$ par $2$ , quelle que soit la note de départ. Or le clavier produit une tension qui augmente linéairement ( $+ 1 V$ par octave) et l'OCT a une fréquence proportionnelle à sa tension de commande. Il faut donc, entre les deux, un bloc qui transforme une addition de $1 V$ en une multiplication par $2$ : une fonction exponentielle.

Relation. On repère la note par $V_{in, 0}$ ; la fréquence doit valoir

$f = f_{La_{0}} 2^{(V_{in, 0} + 5 V) / (1 V)}, f_{La_{0}} = \frac{440 Hz}{2 ^{3}} = 55 Hz,$

(le La $_{3}$ correspond à $V_{in, 0} = - 2 V$ , trois octaves au-dessus du La $_{0}$ ). Comme $f = k_{OCT} V_{in, 1}$ ,

$V_{in, 1} = \frac{f}{k _{OCT}} = V_{ref} exp (α V_{in, 0}) avec α = \frac{ln 2}{1 V} \approx 0, 693 V^{- 1},$

$V_{ref} = \frac{2 ^{5} \times 55 Hz}{k _{OCT}} = \frac{1760 Hz}{k _{OCT}},$

$V_{ref}$ étant la commande de l'OCT pour $V_{in, 0} = 0$ (La $_{5}$ , $1760 Hz$ ). Vérification : $V_{in, 0} \to V_{in, 0} + 1 V$ multiplie $V_{in, 1}$ , donc $f$ , par $e^{l n 2} = 2$ .

Q2. $V_{in, 1}$ , donc $f$ , est proportionnelle à $I_{C}$ . Monter d'une octave, c'est doubler $I_{C}$ à température fixée :

$\frac{I _{C} ( V _{B E} + Δ V _{B E} )}{I _{C} ( V _{B E} )} = exp (\frac{Δ V _{B E}}{v ( T )}) = 2 ⟹ Δ V_{B E} = v (T) ln 2 = \frac{k _{B} T}{q} ln 2 .$

À $T = 293, 15 K$ : $v = \frac{1 , 38 \times 1 0 ^{- 23} \times 293 , 15}{1 , 60 \times 1 0 ^{- 19}} = 25, 3 mV$ , d'où $Δ V_{B E} = 17, 5 mV$ par octave.

Q3. Comme $I_{B} = 0$ , $R$ et $R^{'}$ sont parcourues par le même courant : c'est un diviseur de tension, et la tension base-émetteur (émetteur à la masse) vaut

$V_{B E} = \frac{R ^{'}}{R + R ^{'}} V_{in, 0} ⟹ I_{C} = I_{S} (T) exp (\frac{R ^{'}}{( R + R ^{'} ) v ( T )} V_{in, 0}) .$

Avec $V_{in, 1} = κ I_{C}$ , on obtient bien $V_{in, 1} = V_{ref} exp (α^{'} V_{in, 0})$ , avec $V_{ref} = κ I_{S} (T)$ et

$α^{'} = \frac{R ^{'}}{( R + R ^{'} ) v ( T )} = \frac{1 , 00}{57 , 0 \times 25 , 28 \times 1 0 ^{- 3} V} = 0, 694 V^{- 1},$

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