Corrigé Centrale 2026 Physique-chimie 2 PSI — Partie B (Q21 à Q32) : Ailettes de refroidissement : conduction et conducto-convection

Sujet officiel du concours Centrale, session 2026, épreuve Physique-chimie 2 PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Ailette en aluminium : pavé de longueur $ℓ$ (selon $e_{x}$ ), largeur $L$ , épaisseur $e$ , avec $e ≪ ℓ$ et $e ≪ L$ ; conductivité $λ$ . Sa base $x = 0$ est en contact thermique parfait avec le transistor, à $T_{1}$ constante ; ailleurs elle baigne dans l'air à $T_{a} < T_{1}$ . $T (x, t)$ est uniforme sur chaque section. Loi de Newton : puissance à travers $d S$ : $h d S (T_{S 1} - T_{S 2})$ . Données : $h = 50 W \cdot m^{- 2} \cdot K^{- 1}$ , $λ = 215 W \cdot m^{- 1} \cdot K^{- 1}$ .

{Figure 9 — Ailette posée sur le transistor (plan gris : base à $T_{1}$ ; en rouge, la tranche étudiée)}

Q21. Puissance cédée à l'air par la tranche $[x, x + d x]$ .
Q22. Par un bilan en régime stationnaire, établir $\frac{d ^{2} T}{d x ^{2}} - m^{2} T = - m^{2} T_{a}$ et exprimer $m > 0$ en fonction de $h$ , $λ$ , $e$ .
Q23. Condition aux limites en $x = 0$ .

En $x = ℓ$ : hypothèse 1, ailette assez longue pour que $m ℓ ≫ 1$ ; hypothèse 2, flux diffusif nul ; hypothèse 3, échange conducto-convectif.

Q24. Condition en $x = ℓ$ pour chaque hypothèse ; laquelle est la plus réaliste ?
Q25. Hypothèse 1 : $T (x)$ , puis $T (x) = \frac{T ( x ) - T _{a}}{T _{1} - T _{a}}$ en fonction de $m$ et $x$ ; tracé.

On adopte l'hypothèse 2.

Q26. Déterminer $T (x)$ .
Q27. Flux thermique total $Φ$ évacué par l'ailette.
Q28. $Φ_{u}$ : flux évacué si toute l'ailette était à $T_{1}$ . Sans calcul, comparer $Φ$ et $Φ_{u}$ .
Q29. Pourquoi $η = Φ/ Φ_{u}$ est-il un rendement ?
Q30. Montrer que $η = tanh (m ℓ) / (m ℓ)$ .

Sous l'hypothèse 3 la formule reste valable en remplaçant $ℓ$ par $ℓ_{c} = ℓ + e /2$ . Dimensions maximales imposées : $L = 20 mm$ , $ℓ = 15 mm$ , $e = 2 mm$ (épaisseur à la base pour les profils non rectangulaires). Rendements (figure 10 ; $I_{0}$ , $I_{1}$ : fonctions de Bessel modifiées) :

$η_{rect} = \frac{tanh ( m ℓ _{c} )}{m ℓ _{c}}, η_{tri} = \frac{I _{1} ( 2 m ℓ )}{m ℓ I _{0} ( 2 m ℓ )}, η_{para} = \frac{2}{1 + ( 2 m ℓ ) ^{2} + 1} .$

{Figure 10 — Profils d'ailettes vus de côté (épaisseur $e$ à la base, longueur $ℓ$ , largeur $L$ )}

{Formulaire — Rapport $I_{1} (x) / I_{0} (x)$ ; $tanh x = (e^{x} - e^{- x}) / (e^{x} + e^{- x})$ }

Q31. Quelle forme d'ailette assure la dissipation la plus efficace ?
Q32. Quel type d'écoulement d'air privilégier avec une ventilation ? Justifier.

Corrigé

Q21. La tranche $[x, x + d x]$ échange avec l'air par ses faces latérales : deux grandes faces d'aire $L d x$ et deux petites d'aire $e d x$ , soit $d S = 2 (L + e) d x \approx 2 L d x$ puisque $e ≪ L$ . Sa température $T (x, t)$ est uniforme ; par la loi de Newton, la puissance fournie par le système à l'air est

$δ P_{cc} = h 2 (L + e) d x (T (x, t) - T_{a}) \approx 2 h L (T (x, t) - T_{a}) d x,$

positive puisque l'ailette est plus chaude que l'air.

Q22. Système : la tranche fixe $[x, x + d x]$ , de volume $L e d x$ . Régime stationnaire : son énergie interne ne varie pas. Le flux de conduction à travers la section $S = L e$ suit la loi de Fourier, $Φ_{cond} (x) = - λ L e \frac{d T}{d x}$ (compté selon $+ e_{x}$ ). Premier principe, écrit en puissances :

$0 = Φ_{cond} (x) - Φ_{cond} (x + d x) - 2 h L (T - T_{a}) d x = λ L e \frac{d ^{2} T}{d x ^{2}} d x - 2 h L (T - T_{a}) d x .$

En divisant par $λ L e d x$ :

$\frac{d ^{2} T}{d x ^{2}} - m^{2} T (x) = - m^{2} T_{a}, m = \frac{2 h}{λ e} .$

Homogénéité : $h / (λ e)$ s'exprime en $W \cdot m^{- 2} \cdot K^{- 1} / (W \cdot m^{- 1} \cdot K^{- 1} \cdot m) = m^{- 2}$ , donc $m$ en $m^{- 1}$ . Pour $e = 2 mm$ : $m = 100/ (215 \times 2 \times 1 0^{- 3}) = 15, 2 m^{- 1}$ , longueur caractéristique $1/ m \approx 6, 6 cm$ . (Si l'on garde les petites faces, $m^{2} = 2 h (L + e) / (λ L e)$ : $m^{2}$ augmente de $e / L = 10%$ , $m$ de $5%$ .)

Q23. Contact thermique parfait : continuité de la température à la base,

$T (0) = T_{1} .$

Q24.

Hypothèse 1 ( $m ℓ ≫ 1$ , ailette assimilée à une ailette infinie) : la température tend vers celle de l'air loin de la base, $T (x) \to T_{a}$ ; la solution doit rester bornée, $T (ℓ) \approx T_{a}$ .
Hypothèse 2 (extrémité adiabatique) : flux de conduction nul, $\frac{d T}{d x} (ℓ) = 0$ .
Hypothèse 3 : continuité du flux à l'extrémité, le flux conductif qui arrive est cédé à l'air : $- λ \frac{d T}{d x} (ℓ) = h (T (ℓ) - T_{a})$ .

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