Corrigé e3a 2025 Physique-chimie MP — Partie 1 (Q1 à Q10) : Se peser sur Terre et dans l'ISS : poids, impesanteur, pesée par oscillations d'un ressort

Sujet officiel du concours e3a, session 2025, épreuve Physique-chimie MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Le référentiel géocentrique est supposé galiléen ; $O$ est le centre de la Terre (rayon $R_{T}$ , masse $M_{T}$ , vitesse de rotation propre $Ω$ ). Un objet $M$ de masse $m$ est posé à la surface, à la latitude $λ$ ; la base locale $(u_{x}, u_{y}, u_{z})$ est celle de la figure 1 ( $u_{z}$ selon $O M$ , $u_{y}$ vers le nord, $u_{x}$ vers l'est, entrant dans la feuille) et $H$ est le projeté de $M$ sur l'axe des pôles.

Figure 1 — Vue en coupe de la Terre

Q1. Définir les référentiels géocentrique et terrestre ; mouvement du second par rapport au premier.
Q2. Le poids est la somme de la force gravitationnelle et de la force d'inertie d'entraînement : exprimer ces deux forces.
Q3. Les calculer à Paris ( $λ = 4 9^{\circ}$ ) pour $m = 75 kg$ ; commenter.
Q4. Peser un objet sur Terre avec un ressort de raideur $k$ : schéma et formule.

L'ISS orbite à $h \approx 400 km$ d'altitude à environ $28000 km \cdot h^{- 1}$ (Cité de l'Espace) ; son référentiel est en rotation uniforme dans le référentiel géocentrique (sa coupole regarde toujours la Terre).

Q5. Vitesse d'un satellite ponctuel $S$ (masse $M_{S}$ ) en orbite circulaire à l'altitude $h$ ; vérifier la valeur annoncée ; période de révolution (avec $v = 28 \times 1 0^{3} km \cdot h^{- 1}$ ).
Q6. Le spationaute ( $m = 75 kg$ ) flotte immobile dans l'ISS : exprimer la force gravitationnelle et la force d'inertie d'entraînement (points $O$ , $S$ , $M$ ; $r = O M$ ) ; calculer leur somme en $M = S$ et justifier l'impesanteur.
Q7. Pourquoi la méthode de Q4 est-elle inutilisable dans l'ISS ?

Le BMMD (photographie 2.a : spationaute recroquevillé, agrippé à une barre, calé sur une planche montée sur ressort) a une masse mobile $m_{1} = 12, 43 kg$ ; on le modélise par une masse $m$ (dispositif et spationaute de masse $m_{2}$ ) au bout d'un ressort $(k, l_{0})$ , sans frottement (figure 2.b).

Figure 2.b — Modélisation du BMMD

Q8. Relation entre la période propre et la masse $m$ .
Q9. À vide, $T_{1} = 0, 82 s$ ; avec le spationaute, $T = 2, 15 s$ : formule puis valeur de $m_{2}$ .
Q10. Pourquoi le spationaute doit-il se tenir fermement à la barre, pieds, genoux et menton calés ?

Données : $G = 6, 67 \times 1 0^{- 11} m^{3} \cdot k g^{- 1} \cdot s^{- 2}$ , $R_{T} = 6, 4 \times 1 0^{6} m$ , $M_{T} = 6, 0 \times 1 0^{24} kg$ , $Ω = 7, 3 \times 1 0^{- 5} rad \cdot s^{- 1}$ .

Corrigé

Q1. Le référentiel géocentrique est le référentiel lié au solide formé par le centre $O$ de la Terre et trois étoiles lointaines, considérées comme fixes : son origine est $O$ et ses axes gardent des directions fixes par rapport aux étoiles. Le référentiel terrestre est lié à la Terre elle-même (au sol, au laboratoire).

Par rapport au référentiel géocentrique, le référentiel terrestre est en rotation uniforme autour de l'axe des pôles, fixe dans le géocentrique, à la vitesse angulaire $Ω = 7, 3 \times 1 0^{- 5} rad \cdot s^{- 1}$ (un tour en un jour sidéral, $23 h 56 min$ ). Ce que le correcteur attend : rotation propre de la Terre autour de son axe ; la révolution autour du Soleil est le mouvement du référentiel géocentrique par rapport au référentiel héliocentrique, et c'est une translation.

Q2. Force gravitationnelle exercée par la Terre (à symétrie sphérique, donc équivalente à un point de masse $M_{T}$ placé en $O$ ) sur $M$ , avec $O M = R_{T}$ et $u_{z} = O M / O M$ :

$F_{g} = - \frac{G M _{T} m}{R _{T}^{2}} u_{z} .$

Le référentiel terrestre est en rotation uniforme à $Ω$ autour de l'axe des pôles, fixe dans le référentiel géocentrique galiléen (Q1) : l'accélération d'entraînement de $M$ se réduit au terme centripète $- Ω^{2} H M$ , et la force d'inertie d'entraînement est la force axifuge

$f_{i e} = m Ω^{2} H M, H M = R_{T} cos λ .$

Le vecteur unitaire de $H M$ (perpendiculaire à l'axe, dirigé vers l'extérieur) s'écrit dans la base locale $cos λ u_{z} - sin λ u_{y}$ , d'où

$f_{i e} = m Ω^{2} R_{T} cos λ (cos λ u_{z} - sin λ u_{y}) .$

Le poids est $m g = F_{g} + f_{i e}$ . Ce que le correcteur attend : seul le terme $m Ω^{2} H M$ , celui de la rotation uniforme, est au programme ; la distance à l'axe est $R_{T} cos λ$ , pas $R_{T}$ .

Q3. Normes à Paris :

$F_{g} = \frac{G M _{T} m}{R _{T}^{2}} = \frac{6 , 67 \times 1 0 ^{- 11} \times 6 , 0 \times 1 0 ^{24} \times 75}{( 6 , 4 \times 1 0 ^{6} ) ^{2}} \approx 7, 3 \times 1 0^{2} N,$

$f_{i e} = m Ω^{2} R_{T} cos λ = 75 \times (7, 3 \times 1 0^{- 5})^{2} \times 6, 4 \times 1 0^{6} \times cos 4 9^{\circ} \approx 1, 7 N .$

Le rapport $f_{i e} / F_{g} \approx 2, 3 \times 1 0^{- 3}$ : la force d'inertie d'entraînement est une petite correction. Le poids diffère de l'attraction gravitationnelle de moins de $0, 3 %$ en norme (on trouve $m g \approx 7, 3 \times 1 0^{2} N$ , soit $g \approx 9, 76 m \cdot s^{- 2}$ avec ces données) et la verticale du lieu ne s'écarte de la direction de $O$ que d'environ $0, 1^{\circ}$ . On confond donc usuellement poids et attraction terrestre, la correction étant maximale à l'équateur et nulle aux pôles.

Q4. On suspend l'objet à un ressort vertical de raideur $k$ et de longueur à vide $l_{0}$ , accroché à un support fixe, et on mesure la longueur $l_{e ˊ q}$ à l'équilibre (règle graduée).

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