Corrigé e3a 2025 Physique-chimie MP — Partie 3 (Q32 à Q39) : Ostéodensitométrie : onde dans le vide, effet de peau, mesure de la densité osseuse

Sujet officiel du concours e3a, session 2025, épreuve Physique-chimie MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

L'ostéodensitométrie mesure la densité des os par deux radiographies à deux énergies de rayons X. On étudie une onde électromagnétique dans le vide, puis dans un os assimilé à un conducteur ohmique. Le nombre complexe de partie imaginaire positive et de carré $- 1$ est noté $i$ .

Q32. Écrire les équations de Maxwell dans le vide, avec leurs noms.
Q33. En déduire l'équation d'onde vérifiée par $E$ et son nom ; relation de dispersion pour $E (x, t) = E_{0} exp (i (ω t - k x)) u_{z}$ ; direction de propagation et polarisation.
Q34. Les rayons X utilisés ont une énergie de $40$ et $70 keV$ : énergie en joules, fréquence et longueur d'onde des rayons de $40 keV$ .

Dans un conducteur ohmique localement neutre ( $ρ = 0$ ), de conductivité $σ$ , la densité de courant suit la loi d'Ohm $ = σ E$ .

Q35. Équations de Maxwell dans le conducteur ; quel terme néglige-t-on en régime lentement variable (ARQS) ?
Q36. Équation vérifiée par $E$ dans le conducteur ; nom de ce type d'équation.
Q37. Pour $E (x, t) = E_{0} exp (i (ω t - k x)) u_{z}$ avec $k$ complexe : exprimer $k^{2}$ ; parties réelle $k_{1} > 0$ et imaginaire $k_{2}$ de $k$ ; épaisseur de peau $δ$ .
Q38. Vecteur de Poynting $R$ ; signification physique de sa moyenne temporelle $R_{m} (x)$ (sans la calculer).

Soit $P_{0}$ la puissance entrant dans le conducteur en $x = 0$ et $P_{m}$ celle qu'il transmet après une épaisseur $L$ : on admet $ln (P_{0} / P_{m}) = 2 L / δ$ . Dans l'os, $δ$ dépend de la longueur d'onde et de la densité osseuse $d$ : $δ_{1} = α_{1} / d$ à $40 keV$ et $δ_{2} = α_{2} / d$ à $70 keV$ , les constantes $α_{1}$ et $α_{2}$ étant connues ; l'épaisseur $L$ d'os traversée est connue.

Q39. La puissance incidente $P_{0}$ , la même aux deux énergies, est inconnue ; on mesure les puissances transmises $P_{L 1}$ et $P_{L 2}$ . Proposer une méthode pour déterminer $d$ .

Données : $ε_{0} = 8, 85 \times 1 0^{- 12} F \cdot m^{- 1}$ , $h = 6, 63 \times 1 0^{- 34} J \cdot s$ , $c = 3, 00 \times 1 0^{8} m \cdot s^{- 1}$ , $e = 1, 60 \times 1 0^{- 19} C$ ; $rot (rot A) = grad (div A) - Δ A$ .

Corrigé

Q32. Dans le vide, sans charge ni courant ( $ρ = 0$ , $ = 0$ ) :

$div E = 0 (Maxwell-Gauss), div B = 0 (Maxwell-Thomson, ou « du flux »),$

$rot E = - \frac{\partial B}{\partial t} (Maxwell-Faraday), rot B = μ_{0} ε_{0} \frac{\partial E}{\partial t} (Maxwell-Amp e ˋ re),$

avec $μ_{0} ε_{0} c^{2} = 1$ ; $μ_{0} = 1/ (ε_{0} c^{2}) = 4 π \times 1 0^{- 7} H \cdot m^{- 1}$ ne figurant pas dans les données, on l'exprime ainsi.

Q33. On prend le rotationnel de l'équation de Maxwell-Faraday et on utilise la formule du double rotationnel :

$rot (rot E) = grad (div E) - Δ E = - Δ E (Maxwell-Gauss),$

$rot (- \frac{\partial B}{\partial t}) = - \frac{\partial}{\partial t} (rot B) = - μ_{0} ε_{0} \frac{\partial ^{2} E}{\partial t ^{2}} (Maxwell-Amp e ˋ re),$

l'interversion des dérivations spatiales et temporelle étant licite (théorème de Schwarz, champs réguliers). D'où

$Δ E - \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} E}{\partial t ^{2}} = 0, c = \frac{1}{μ _{0} ε _{0}},$

l'équation de d'Alembert (équation d'onde). Pour $E = E_{0} exp (i (ω t - k x)) u_{z}$ , dériver revient à multiplier par $- i k$ par rapport à $x$ et par $i ω$ par rapport à $t$ : $Δ E = - k^{2} E$ et $\frac{\partial ^{2} E}{\partial t ^{2}} = - ω^{2} E$ . L'équation de d'Alembert impose, pour $E_{0} \neq = 0$ , la relation de dispersion

$k^{2} = \frac{ω ^{2}}{c ^{2}}$

Le vide n'est pas dispersif : la vitesse de phase $ω / k = c$ ne dépend pas de $ω$ . La phase $ω t - k x$ est constante pour $x = \frac{ω}{k} t + cte$ : avec $k = ω / c > 0$ , l'onde se propage selon $+ u_{x}$ (onde plane progressive, harmonique). Son champ électrique garde la direction fixe $u_{z}$ : elle est polarisée rectilignement selon $u_{z}$ , perpendiculairement à la direction de propagation (onde transverse, conformément à $div E = \partial E_{z} / \partial z = 0$ ).

Q34. Conversion : $1 eV = 1, 60 \times 1 0^{- 19} J$ , donc

$E_{1} = 40 \times 1 0^{3} \times 1, 60 \times 1 0^{- 19} = 6, 4 \times 1 0^{- 15} J .$

Relation de Planck-Einstein, $E = h ν$ :

100 % gratuit

La suite du corrigé est sur Adloun

Le corrigé rédigé en entier, question par question, et le tuteur pour poser des questions sur ce sujet.

Voir le corrigé complet, gratuitement

Inscription gratuite en 30 secondes (e-mail, nom d'utilisateur, mot de passe, classe ou profil), sans carte bancaire : arrivée directe sur le corrigé.

Toutes les parties de l'épreuve

Corrigé complet gratuit →