Corrigé e3a 2025 Physique-chimie MPI — Partie 1 (Q1 à Q11) : Se peser sur Terre et dans l'ISS : poids, impesanteur, pesée par oscillations, incertitude par Monte-Carlo

Q1. Le référentiel géocentrique est le référentiel lié au solide formé par le centre $O$ de la Terre et trois étoiles lointaines, considérées comme fixes : son origine est $O$ et ses axes gardent des directions fixes par rapport aux étoiles. Le référentiel terrestre est lié à la Terre elle-même (au sol, au laboratoire).

Par rapport au référentiel géocentrique, le référentiel terrestre est en rotation uniforme autour de l'axe des pôles, fixe dans le géocentrique, à la vitesse angulaire $\Omega =7,3\times 10^{-5}\mathrm{rad}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$ (un tour en un jour sidéral, $23\mathrm{h}56\min$). Ce que le correcteur attend : rotation propre de la Terre autour de son axe ; la révolution autour du Soleil est le mouvement du référentiel géocentrique par rapport au référentiel héliocentrique, et c'est une translation.

Q2. Force gravitationnelle exercée par la Terre (à symétrie sphérique, donc équivalente à un point de masse $M_T$ placé en $O$) sur $M$, avec $OM=R_T$ et ${\overrightarrow{u}}_z=\overrightarrow{OM}/OM$ :

$${\overrightarrow{F}}_g=-\frac{G{M}_{T}m}{R_T^2}{\overrightarrow{u}}_z.$$

Le référentiel terrestre est en rotation uniforme à $\overrightarrow{\Omega }$ autour de l'axe des pôles, fixe dans le référentiel géocentrique galiléen (Q1) : l'accélération d'entraînement de $M$ se réduit au terme centripète $-{\Omega }^2\overrightarrow{HM}$, et la force d'inertie d'entraînement est la force axifuge

$${\overrightarrow{f}}_{ie}=m{\Omega }^2\overrightarrow{HM},HM=R_T\cos \lambda .$$

Le vecteur unitaire de $\overrightarrow{HM}$ (perpendiculaire à l'axe, dirigé vers l'extérieur) s'écrit dans la base locale $\cos \lambda {\overrightarrow{u}}_z-\sin \lambda {\overrightarrow{u}}_y$, d'où

$${\overrightarrow{f}}_{ie}=m{\Omega }^2{R}_T\cos \lambda \left(\cos \lambda {\overrightarrow{u}}_z-\sin \lambda {\overrightarrow{u}}_y\right).$$

Le poids est $m\overrightarrow{g}={\overrightarrow{F}}_g+{\overrightarrow{f}}_{ie}$. Ce que le correcteur attend : seul le terme $m{\Omega }^2\overrightarrow{HM}$, celui de la rotation uniforme, est au programme ; la distance à l'axe est $R_T\cos \lambda$, pas $R_T$.

Q3. Normes à Paris :

$$F_g=\frac{G{M}_{T}m}{R_T^2}=\frac{6,67\times 10^{-11}\times 6,0\times 10^{24}\times 75}{(6,4\times 10^6{)}^2}\approx 7,3\times 10^2\mathrm{N},$$

$$f_{ie}=m{\Omega }^2{R}_T\cos \lambda =75\times (7,3\times 10^{-5}{)}^2\times 6,4\times 10^6\times \cos 49^{\circ }\approx 1,7\mathrm{N}.$$

Le rapport $f_{ie}/F_g\approx 2,3\times 10^{-3}$ : la force d'inertie d'entraînement est une petite correction. Le poids diffère de l'attraction gravitationnelle de moins de $0,3\%$ en norme (on trouve $mg\approx 7,3\times 10^2\mathrm{N}$, soit $g\approx 9,76\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-2}$ avec ces données) et la verticale du lieu ne s'écarte de la direction de $O$ que d'environ $0,1^{\circ }$. On confond donc usuellement poids et attraction terrestre, la correction étant maximale à l'équateur et nulle aux pôles.

Q4. On suspend l'objet à un ressort vertical de raideur $k$ et de longueur à vide $l_0$, accroché à un support fixe, et on mesure la longueur $l_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{q}}$ à l'équilibre (règle graduée).

Système : l'objet, dans le référentiel terrestre (non galiléen, mais la force d'inertie d'entraînement est incluse dans le poids et la force de Coriolis est nulle pour un objet immobile). À l'équilibre, le poids $m\overrightarrow{g}$ (vers le bas) et la tension du ressort (vers le haut, de norme $k(l_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{q}}-l_0)$) se compensent :

$$k(l_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{q}}-l_0)=mg⟹m=\frac{k(l_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{q}}-l_0)}{g}=\frac{k\Delta l}{g}.$$

Il faut connaître $g$ au lieu de mesure ($g\approx 9,8\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-2}$) : c'est le principe du peson.