Corrigé e3a 2025 Physique-chimie MPI — Partie 2.A (Q12 à Q18) : CEVIS, le vélo de l'ISS : solénoïde et freinage par induction

Q12. Symétries et invariances des courants. Dans le modèle du solénoïde infini ($L\gg a$), les spires, jointives, sont des carrés perpendiculaires à l'axe $(Az)$ et la densité linéique de spires $n$ est uniforme.

• Tout plan passant par $M$ et perpendiculaire à $(Az)$ est un plan de symétrie de la distribution de courants. Le champ magnétique, vecteur axial, est perpendiculaire en $M$ à tout plan de symétrie des courants : $\overrightarrow{B}(M)=B(M){\overrightarrow{u}}_z$.
• La distribution est invariante par toute translation parallèle à $(Az)$ : $B$ ne dépend pas de $z$.

D'où $\overrightarrow{B}(M)=B(x,y){\overrightarrow{u}}_z$. La section étant carrée, il n'y a pas d'invariance par rotation : la symétrie ne dit rien de plus sur la dépendance en $x$ et $y$, c'est le théorème d'Ampère qui va la préciser.

Théorème d'Ampère (régime stationnaire) : la circulation de $\overrightarrow{B}$ sur un contour fermé orienté $\mathcal{C}$ vaut ${\mu }_0{I}_{\mathrm{enl}}$, où $I_{\mathrm{enl}}$ est l'intensité algébrique traversant une surface s'appuyant sur $\mathcal{C}$, orientée par la règle de la main droite.

On prend un rectangle du plan $({\overrightarrow{u}}_x,{\overrightarrow{u}}_z)$ (vue en coupe de la figure 4), dont deux côtés de longueur $\ell =P_1{Q}_1=Q_2{P}_2$ sont parallèles à l'axe ($P_1{Q}_1$ près de l'axe, $Q_2{P}_2$ plus loin) :

• Si les deux côtés parallèles à l'axe sont à l'intérieur, aucun courant ne traverse le rectangle. Sur les côtés perpendiculaires à l'axe, $\overrightarrow{B}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{l}=0$ car $\overrightarrow{B}\parallel {\overrightarrow{u}}_z$ ; il reste $B(P_1)\ell -B(P_2)\ell =0$ (les côtés $P_1{Q}_1$ et $Q_2{P}_2$ étant parcourus en sens opposés) : $B$ prend la même valeur en deux points intérieurs quelconques, le champ intérieur est uniforme, ${\overrightarrow{B}}_{\mathrm{int}}=B_0{\overrightarrow{u}}_z$.
• Si un côté est à l'intérieur (parcouru selon $+{\overrightarrow{u}}_z$) et l'autre à l'extérieur (champ nul), comme sur le schéma, le rectangle est traversé par $n\ell$ fils de la nappe supérieure. D'après la figure 4, le courant y sort de la feuille, selon $+{\overrightarrow{u}}_y$, qui est précisément la normale du rectangle orienté (${\overrightarrow{u}}_z\wedge {\overrightarrow{u}}_x={\overrightarrow{u}}_y$) : $I_{\mathrm{enl}}=+n\ell I$. La circulation se réduit à celle sur le côté intérieur :

$$B_0\ell ={\mu }_{0}n\ell I⟹\boxed{{\overrightarrow{B}}_{\mathrm{int}}={\mu }_{0}nI{\overrightarrow{u}}_z={\mu }_0\frac{N}{L}I{\overrightarrow{u}}_z}$$