Corrigé e3a 2025 Physique-chimie MPI — Partie 2.B-D (Q19 à Q27) : Acide lactique dans le sang : pH, titrage pH-métrique, élimination par la méthode d'Euler

Sujet officiel du concours e3a, session 2025, épreuve Physique-chimie MPI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Le sang est une solution aqueuse dont le pH est imposé par le couple $H X_{2} CO X_{3} / HCO X_{3} X^{-}$ ( $p K_{a 1} = 6, 4$ ) ; habituellement $pH = 7, 4$ et $C_{t} = [H X_{2} CO X_{3}] + [HCO X_{3} X^{-}] = C_{t, 0} = 0, 0275 mol \cdot L^{- 1}$ . Le pH doit rester entre $7, 3$ et $7, 5$ . L'acide lactique (noté $HLa$ , base conjuguée $La X^{-}$ , $p K_{a 2} = 3, 9$ ), formé dans le muscle lors d'un effort intense, passe dans le sang où il réagit avec $HCO X_{3} X^{-}$ .

Q19. Concentrations en $H X_{2} CO X_{3}$ et $HCO X_{3} X^{-}$ dans les conditions habituelles.
Q20. Diagramme de prédominance des quatre espèces ; équation de la réaction de $HLa$ avec $HCO X_{3} X^{-}$ (seule réaction) ; constante d'équilibre ; que penser a priori de l'hypothèse d'une réaction quasi totale ?
Q21. pH après un effort ayant porté la concentration initiale d'acide lactique dans le sang à $C_{0}^{'} = 2, 0 \times 1 0^{- 3} mol \cdot L^{- 1}$ ; validité a posteriori de l'hypothèse ; commenter.

Titrage. L'acide lactique extrait de $V_{0} = 5, 0 mL$ de sang est dissous dans l'eau (solution $S$ , $V = 50, 0 mL$ ), titrée par la soude de concentration $C_{1} = 1, 00 \times 1 0^{- 3} mol \cdot L^{- 1}$ (figure 8).

Figure 8 — Courbe de titrage de l'acide lactique

Q22. Équation de la réaction de titrage ; constante d'équilibre, conséquence ; schéma annoté du montage.
Q23. Concentration $C$ de $HLa$ dans $S$ , puis $C_{0}$ dans le sang. Au-delà de $200 mg \cdot L^{- 1}$ , on parle d'acidose lactique : le patient est-il en acidose ?
Q24. Quel(s) indicateur(s) coloré(s) utiliser pour suivre ce titrage ? Justifier.

Indicateur	Rouge congo	Rouge de phénol	Thymolphtaléine
Teinte acide	bleu	jaune	incolore
Teinte basique	rouge	rouge	bleu
Zone de virage	$3, 5$ – $4, 5$	$6, 8$ – $7, 8$	$9, 0$ – $10, 0$

Élimination. Pendant la récupération, la concentration $C$ d'acide lactique dans le sang vérifie $\frac{d C}{d t} = - α C (t) - β C^{2} (t) + γ$ ( $α$ , $β$ , $γ$ connus) ; méthode d'Euler explicite sur une durée Dt découpée en N intervalles de longueur $p$ .

Q25. Script Python définissant p, puis la liste (ou le tableau) L_t des dates de calcul.
Q26. Exprimer $C_{i + 1}$ en fonction de $C_{i}$ , $p = t_{i + 1} - t_{i}$ , $α$ , $β$ , $γ$ .
Q27. Script construisant la liste L_C des $C_{i}$ aux dates de L_t (variables C0, alpha, beta, gamma déjà définies).

Données : $p K_{e} = 14$ ; $M (H) = 1$ , $M (C) = 12$ , $M (O) = 16 g \cdot mo l^{- 1}$ .

Corrigé

Q19. Relation de Henderson, conséquence de la définition de $K_{a 1}$ :

$pH = p K_{a 1} + lo g \frac{[ HCO X _{3} X ^{-} ]}{[ H X _{2} CO X _{3} ]} ⟹ \frac{[ HCO X _{3} X ^{-} ]}{[ H X _{2} CO X _{3} ]} = 1 0^{7, 4 - 6, 4} = 10.$

Avec $[H X_{2} CO X_{3}] + [HCO X_{3} X^{-}] = C_{t, 0}$ :

$[H X_{2} CO X_{3}] = \frac{C _{t, 0}}{11} = 2, 5 \times 1 0^{- 3} mol \cdot L^{- 1},$

$[HCO X_{3} X^{-}] = \frac{10 C _{t, 0}}{11} = 2, 50 \times 1 0^{- 2} mol \cdot L^{- 1}$

L'ion hydrogénocarbonate prédomine, comme attendu pour $pH > p K_{a 1}$ .

Q20. Diagramme de prédominance (un acide prédomine sur sa base conjuguée pour $pH < p K_{a}$ ) :

$HLa$ et $HCO X_{3} X^{-}$ ont des domaines de prédominance disjoints (aucun pH où les deux prédominent) : ils réagissent, l'acide le plus fort ( $p K_{a}$ le plus faible) sur la base la plus forte (règle du gamma) :

$HLa X_{(aq)} + HCO X_{3} X^{-} X_{(aq)} = La X^{-} X_{(aq)} + H X_{2} CO X_{3} X_{(aq)} .$

Constante d'équilibre (combinaison des deux équilibres acido-basiques) :

$K^{\circ} = \frac{[ La X ^{-} ] [ H X _{2} CO X _{3} ]}{[ HLa ] [ HCO X _{3} X ^{-} ]} = \frac{K _{a 2}}{K _{a 1}} = 1 0^{p K_{a 1} - p K_{a 2}} = 1 0^{2, 5} \approx 3, 2 \times 1 0^{2} .$

A priori, $K^{\circ} \approx 3 \times 1 0^{2}$ n'est pas assez grande pour garantir une réaction totale (le critère usuel est $K^{\circ} > 1 0^{3}$ à $1 0^{4}$ pour des réactifs en proportions comparables). Mais $HCO X_{3} X^{-}$ est ici en large excès ( $2, 5 \times 1 0^{- 2}$ contre $2, 0 \times 1 0^{- 3} mol \cdot L^{- 1}$ , Q21), ce qui déplace l'équilibre vers la consommation presque complète de $HLa$ : l'hypothèse est plausible, à vérifier a posteriori.

Q21. Tableau d'avancement volumique ( $mol \cdot L^{- 1}$ ), réaction supposée totale ( $HLa$ limitant) :

	$HLa$	$HCO X_{3} X^{-}$	$La X^{-}$	$H X_{2} CO X_{3}$
initial	$2, 0 \times 1 0^{- 3}$	$2, 50 \times 1 0^{- 2}$	$0$	$2, 5 \times 1 0^{- 3}$
final	$ε$	$2, 30 \times 1 0^{- 2}$	$2, 0 \times 1 0^{- 3}$	$4, 5 \times 1 0^{- 3}$

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