Corrigé e3a 2025 Physique-chimie MPI — Partie 4 (Q36 à Q41) : Électrocardiogramme : membrane d'un axone, dipôle cardiaque

Sujet officiel du concours e3a, session 2025, épreuve Physique-chimie MPI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Nerf. L'axone d'un neurone (figure 9.a : dessin d'un neurone et de sa fibre) est modélisé par un cylindre infini d'axe $(O, u_{z})$ : un axoplasme de rayon $a$ , au potentiel $V_{A}$ , entouré d'une membrane d'épaisseur $b$ et de permittivité relative $ε_{r}$ , baignant dans un liquide extérieur au potentiel $V_{E}$ . La face intérieure de la membrane porte une charge surfacique uniforme $σ$ . Régime stationnaire ; dans la membrane, on remplace $ε_{0}$ par $ε_{0} ε_{r}$ .

Figure 9.b — Schéma d'un axone

Q36. Montrer que $E (M)$ dans la membrane ne dépend que de $r$ et est porté par $u_{r}$ ; l'exprimer par le théorème de Gauss.
Q37. Relation entre $E$ et $V$ ; $V (M)$ en fonction de $σ$ , $ε_{0} ε_{r}$ , $a$ , $r$ , $V_{A}$ ; en déduire $σ = \frac{ε _{0} ε _{r} ( V _{A} - V _{E} )}{a ln ( ( a + b ) / a )}$ .
Q38. Pour $a ≫ b$ , simplifier $σ$ et montrer que $E = ∣ (V_{A} - V_{E}) / b ∣$ ; charge $Q$ d'une longueur $L$ de la face intérieure.
Q39. Avec $Q = C (V_{A} - V_{E})$ : capacité pour une longueur $L$ , capacité surfacique $c_{m}$ ; vérifier $c_{m} = 1 \times 1 0^{- 2} F \cdot m^{- 2}$ ; avec $V_{A} - V_{E} = - 60 mV$ , calculer $σ$ et $E$ .

Lors d'un influx nerveux, $V_{A} - V_{E}$ passe brièvement de $- 60$ à $+ 40 mV$ (potentiel d'action, figure 10). Celui qui parcourt le cœur en fait un dipôle lentement variable, de moment $p$ , placé en $O$ : $V (M) = \frac{p \cdot r}{4 π ε _{0} r ^{3}}$ avec $r = O M$ . On mesure $U_{1} = V_{G} - V_{D}$ entre les électrodes des poignets gauche $G$ et droit $D$ , avec $O G = O D = d$ (figure 11).

Figure 11 — Position des électrodes

Q40. Montrer que $U_{1}$ est proportionnelle à la projection de $p$ sur $u_{x}$ (de $D$ vers $G$ ) ; exprimer la constante $K$ en fonction de $ε_{0}$ , $d$ et $D G$ .
Q41. La figure 12 donne $p$ au cours d'un cycle cardiaque (point : dipôle nul). Quel enregistrement de la figure 13 peut correspondre à $U_{1}$ ?

Figure 12 — Évolution du dipôle électrique cardiaque (avec $t_{i} < t_{i + 1}$ )

Figure 13 — Quatre des douze enregistrements d'un ECG (tension en fonction du temps)

Données : $ε_{0} = 8, 85 \times 1 0^{- 12} F \cdot m^{- 1}$ , $a = 5, 0 μ m$ , $b = 7, 0 nm$ , $ε_{r} = 8, 0$ .

Corrigé

Q36. Symétries et invariances des charges. La distribution (charge surfacique uniforme sur le cylindre infini de rayon $a$ ) est invariante par rotation autour de $(O, u_{z})$ et par translation selon $u_{z}$ : en coordonnées cylindriques, $E$ ne dépend ni de $θ$ ni de $z$ , $E (M) = E (r)$ . Les plans $(M, u_{r}, u_{z})$ et $(M, u_{r}, u_{θ})$ sont des plans de symétrie de la distribution ; le champ électrique, vecteur polaire, appartient à chacun d'eux, donc à leur intersection, la droite $(M, u_{r})$ : $E (M) = E (r) u_{r}$ .

Théorème de Gauss : le flux de $E$ sortant d'une surface fermée vaut $Q_{int} / (ε_{0} ε_{r})$ dans la membrane. Surface de Gauss : le cylindre fermé d'axe $(O, u_{z})$ , de rayon $r$ avec $a < r < a + b$ (le point $M$ est sur sa surface latérale), et de hauteur $h$ . Le flux à travers les deux disques de base est nul, car $E = E (r) u_{r}$ est tangent à ces surfaces de normale $\pm u_{z}$ ; à travers la surface latérale, de normale $u_{r}$ , où $E (r)$ est uniforme, il vaut $E (r) 2 π r h$ . La charge intérieure est celle de la face intérieure de la membrane sur la hauteur $h$ , $Q_{int} = σ 2 π ah$ (l'axoplasme, conducteur à l'équilibre au potentiel $V_{A}$ , n'a pas de charge volumique). D'où

$E (r) 2 π r h = \frac{σ 2 π ah}{ε _{0} ε _{r}} ⟹ E (M) = \frac{σ a}{ε _{0} ε _{r} r} u_{r} (a < r < a + b) .$

Q37. En régime stationnaire, $E = - grad V$ . Avec le gradient en coordonnées cylindriques et $V = V (r)$ : $\frac{d V}{d r} = - E (r) = - \frac{σ a}{ε _{0} ε _{r} r}$ . Le potentiel est continu à la traversée de la face chargée et vaut $V_{A}$ en $r = a$ (potentiel de l'axoplasme) ; en intégrant de $a$ à $r$ :

$V (r) = V_{A} - \frac{σ a}{ε _{0} ε _{r}} ln \frac{r}{a} .$

Sur la face extérieure de la membrane, $V (a + b) = V_{E}$ :

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