Corrigé e3a 2025 Physique-chimie PSI — Partie I.2 (Q7 à Q16) : Chirurgie LASIK : onde plane et vecteur de Poynting, champ d'une impulsion femtoseconde, plasma dilué, bulle de vaporisation

Sujet officiel du concours e3a, session 2025, épreuve Physique-chimie PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Le LASIK se déroule en trois étapes (figure 2) : un laser à impulsions femtosecondes découpe dans la cornée une lamelle (le volet cornéen) d'épaisseur $100 μ m$ environ, en une dizaine de secondes par œil ; le volet soulevé, un laser Excimer remodèle le stroma ; le volet est remis en place.

Figure 2 — Les étapes opératoires de la chirurgie LASIK.

Onde laser.

On la modélise par une onde plane progressive sinusoïdale se propageant selon $u_{x}$ , polarisée selon $u_{y}$ , d'amplitude $E_{0}$ , de pulsation $ω$ et de nombre d'onde $k$ , dans le vide. Le champ intense des impulsions ionise la matière (claquage optique) ; la bulle de gaz formée rompt localement le tissu, et des centaines de milliers de bulles forment l'incision.

Q7. Exprimer $E (M, t)$ , $B (M, t)$ et le vecteur de Poynting $Π (M, t)$ en fonction de $E_{0}$ , $ω$ , $k$ , $c$ , $ε_{0}$ .
Q8. Relier $E_{0}$ à l'énergie $E_{imp}$ d'une impulsion, à l'aide de $ε_{0}$ , $c$ et $τ$ .
Q9. Champ créé par le noyau d'un atome d'hydrogène sur son électron (rayon d'orbite $r_{H}$ ) ?
Q10. Comparer ces champs : l'impulsion laser peut-elle ioniser les atomes ?

Propagation dans le plasma.

Plasma dilué de densité $n$ d'électrons libres (masse $m_{e}$ , charge $- e$ ) : interactions entre particules négligées, ions immobiles, plasma localement neutre, force magnétique négligée devant la force électrique. Onde $E (M, t) = E_{0} exp (i (ω t - k x))$ .

Q11. Montrer que $j = γ E$ et exprimer $γ$ en fonction de $m_{e}$ , $ω$ , $n$ , $e$ .
Q12. Écrire les équations de Maxwell locales dans le plasma.
Q13. Établir la relation de dispersion ; exprimer la pulsation plasma $ω_{P}$ .
Q14. Montrer que l'onde ne se propage pas si $ω < ω_{P}$ ; exprimer alors le champ à l'aide de $δ = c / ω_{P}^{2} - ω^{2}$ .
Q15. ( $*$ ) Estimer la surface du volet, le nombre d'impulsions nécessaires et, pour une découpe de $10 s$ , la fréquence des impulsions.
Q16. ( $*$ ) La cornée est assimilée à de l'eau ; le claquage d'une sphère de rayon $R$ la transforme en un mélange gazeux de $H X_{2}$ et $O X_{2}$ . Déterminer $R$ .

$e = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19} C$	$μ_{0} = 4 π \cdot 1 0^{- 7} H \cdot m^{- 1}$	$ε_{0} = 9 \cdot 1 0^{- 12} F \cdot m^{- 1}$
$r_{H} = 0, 5 \cdot 1 0^{- 10} m$	$ρ = 1, 0 \cdot 1 0^{3} kg \cdot m^{- 3}$	$M = 18 g \cdot mo l^{- 1}$
$E_{imp} = 4, 0 μ J$	$τ = 2 fs$	$λ = 1, 0 μ m$
$d = 1, 0 μ m$ (zone focale)	$L_{vap} = 2, 0 \cdot 1 0^{3} kJ \cdot k g^{- 1}$
$Δ_{f} H^{\circ} (H X_{2} O (g)) = - 241 kJ \cdot mo l^{- 1}$

Corrigé

Q7. Dans le vide, l'onde plane progressive sinusoïdale se propageant selon $+ u_{x}$ et polarisée rectilignement selon $u_{y}$ s'écrit (phase à l'origine nulle)

$E (M, t) = E_{0} cos (ω t - k x) u_{y}, k = \frac{ω}{c} .$

L'équation de Maxwell-Faraday $rot E = - \frac{\partial B}{\partial t}$ donne $rot E = \frac{\partial E _{y}}{\partial x} u_{z} = k E_{0} sin (ω t - k x) u_{z}$ , d'où, sans champ statique,

$B (M, t) = \frac{k}{ω} E_{0} cos (ω t - k x) u_{z} = \frac{E _{0}}{c} cos (ω t - k x) u_{z},$

conforme à la structure de l'onde plane progressive, $B = \frac{u _{x} \land E}{c}$ : $(u_{x}, E, B)$ est un trièdre direct. Le vecteur de Poynting se calcule avec les champs réels :

$Π (M, t) = \frac{E \land B}{μ _{0}} = \frac{E _{0}^{2}}{μ _{0} c} cos^{2} (ω t - k x) u_{x} = ε_{0} c E_{0}^{2} cos^{2} (ω t - k x) u_{x}$

(car $μ_{0} ε_{0} c^{2} = 1$ ), de moyenne temporelle $⟨ Π ⟩ = \frac{1}{2} ε_{0} c E_{0}^{2} u_{x}$ : l'énergie se propage selon la direction de propagation, perpendiculaire à la polarisation.

Ce que le correcteur attend : ne pas confondre direction de propagation ( $u_{x}$ ) et direction de polarisation ( $u_{y}$ ) ; $Π = E \land B / μ_{0}$ (et non $/ ε_{0}$ ), calculé avec les champs réels.

Q8. Le vecteur de Poynting est une puissance surfacique. L'impulsion traverse la zone de focalisation, d'aire $S = π d^{2} /4$ , pendant la durée $τ$ ; en supposant l'intensité uniforme sur $S$ et constante pendant $τ$ ,

$E_{imp} = ⟨ Π ⟩ S τ = \frac{1}{2} ε_{0} c E_{0}^{2} S τ ⟹ E_{0} = \frac{2 E _{imp}}{ε _{0} c S τ} = \frac{8 E _{imp}}{π ε _{0} c d ^{2} τ}$

Homogénéité : $ε_{0} c E_{0}^{2}$ est une puissance surfacique ( $W \cdot m^{- 2}$ ), multipliée par une aire et une durée elle donne des joules. Remarque : avec $λ = 1, 0 μ m$ , la période optique vaut $λ / c \approx 3, 3 fs$ , plus longue que $τ = 2 fs$ ; la moyenne de $cos^{2}$ n'est donc qu'une approximation, qui ne change pas l'ordre de grandeur de $E_{0}$ (facteur au plus $2$ ).

Q9. Le noyau (un proton, charge $+ e$ ) est assimilé à une charge ponctuelle immobile en $O$ . Le champ électrostatique qu'il crée à la distance $r_{H}$ , à l'endroit où se trouve l'électron, est donné par la loi de Coulomb :

$E_{H} = \frac{e}{4 π ε _{0} r _{H}^{2}} u_{r}, E_{H} = \frac{1 , 6 \cdot 1 0 ^{- 19}}{4 π \times 9 \cdot 1 0 ^{- 12} \times ( 0 , 5 \cdot 1 0 ^{- 10} ) ^{2}} \approx 6 \cdot 1 0^{11} V \cdot m^{- 1}$

( $1/ (4 π ε_{0}) \approx 9 \cdot 1 0^{9} m \cdot F^{- 1}$ et $1, 6 \cdot 1 0^{- 19} /2, 5 \cdot 1 0^{- 21} = 64$ , d'où $5, 7 \cdot 1 0^{11} V \cdot m^{- 1}$ ). C'est un champ (en $V \cdot m^{- 1}$ ), radial et dirigé du noyau vers l'électron ; la force subie par l'électron, $- e E_{H}$ , est attractive.

Q10. Avec les données : puissance de crête $E_{imp} / τ = 4, 0 \cdot 1 0^{- 6} /2 \cdot 1 0^{- 15} = 2 \cdot 1 0^{9} W$ , aire $S = π (0, 5 \cdot 1 0^{- 6})^{2} \approx 0, 8 \cdot 1 0^{- 12} m^{2}$ , intensité $I = 2, 5 \cdot 1 0^{21} W \cdot m^{- 2}$ , et

$E_{0} = \frac{2 I}{ε _{0} c} = \frac{5 \cdot 1 0 ^{21}}{9 \cdot 1 0 ^{- 12} \times 3 \cdot 1 0 ^{8}} \approx 1, 9 \cdot 1 0^{24} \approx 1, 4 \cdot 1 0^{12} V \cdot m^{- 1} .$

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