Corrigé e3a 2025 Physique-chimie PSI — Partie I.3 (Q17 à Q23) : Pachymétrie ultrasonore : équation de d'Alembert acoustique, impédance, réflexion à l'interface cornée - humeur aqueuse

Sujet officiel du concours e3a, session 2025, épreuve Physique-chimie PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Le LASIK exige une cornée d'épaisseur supérieure à $500 μ m$ ; on la mesure par ultrasons (pachymétrie). La cornée est assimilée à un fluide non visqueux de masse volumique $ρ_{0}$ , de pression $P_{0}$ , au repos. Une onde ultrasonore plane progressive sinusoïdale s'y propage selon $+ u_{x}$ avec la célérité $c$ ; on note $P = P_{0} + p (x, t)$ , $ρ = ρ_{0} + μ (x, t)$ et $v = v (x, t) u_{x}$ . Approximation acoustique : $P_{0} ≫ ∣ p ∣$ et $ρ_{0} ≫ ∣ μ ∣$ . Compressibilité adiabatique : $χ_{S} = \frac{1}{ρ} (\frac{\partial ρ}{\partial P})_{S}$ .

L'impédance acoustique $Z$ est le rapport de la surpression à la vitesse ; $Z_{1}$ est celle de la cornée, $Z_{2}$ celle de l'humeur aqueuse (liquide de la chambre antérieure, derrière la cornée). Données : $χ_{S} = 3, 6 \cdot 1 0^{- 10} P a^{- 1}$ pour la cornée ; masse volumique de l'eau $1, 0 \cdot 1 0^{3} kg \cdot m^{- 3}$ .

Q17. Exprimer $χ_{S}$ dans l'approximation acoustique.
Q18. Écrire l'équation de la dynamique d'une particule de fluide et la simplifier (approximation acoustique).
Q19. Même travail pour l'équation locale de conservation de la masse.
Q20. En déduire l'équation de propagation de $p (x, t)$ en fonction de $ρ_{0}$ et $χ_{S}$ , l'expression de la célérité et sa valeur dans la cornée.
Q21. Exprimer l'impédance acoustique pour une onde se propageant vers les $x$ croissants, puis vers les $x$ décroissants.
Q22. Conditions aux limites à l'interface cornée – humeur aqueuse ; coefficients de réflexion et de transmission en vitesse en fonction de $Z_{1}$ et $Z_{2}$ ; fraction de la puissance incidente réfléchie (expression littérale).
Q23. Comment obtenir l'épaisseur de la cornée avec ce dispositif ?

Corrigé

Q17. Les compressions et détentes de l'onde sont adiabatiques (trop rapides pour que la chaleur diffuse sur une demi-longueur d'onde) et réversibles (fluide non visqueux) : elles sont isentropiques. Au voisinage de l'état de repos, on développe $ρ (P)$ à entropie fixée au premier ordre :

$ρ_{0} + μ = ρ_{0} + (\frac{\partial ρ}{\partial P})_{S} p ⟹ (\frac{\partial ρ}{\partial P})_{S} \approx \frac{μ}{p} .$

Comme $ρ \approx ρ_{0}$ au premier ordre,

$χ_{S} = \frac{μ}{ρ _{0} p} soit μ = ρ_{0} χ_{S} p .$

Q18. Système : une particule de fluide, dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen. Le fluide est parfait (non visqueux) et l'on néglige la pesanteur (la pression de repos $P_{0}$ est uniforme). L'équation d'Euler s'écrit

$ρ (\frac{\partial v}{\partial t} + (v \cdot grad) v) = - grad P sur u_{x} (ρ_{0} + μ) (\frac{\partial v}{\partial t} + v \frac{\partial v}{\partial x}) = - \frac{\partial p}{\partial x} .$

Dans l'approximation acoustique, $p$ , $μ$ , $v$ et leurs dérivées sont des infiniment petits du premier ordre ; on ne garde que les termes d'ordre $1$ ( $μ \partial v / \partial t$ et $ρ v \partial v / \partial x$ sont d'ordre $2$ ) :

$ρ_{0} \frac{\partial v}{\partial t} = - \frac{\partial p}{\partial x} (1)$

Q19. L'équation locale de conservation de la masse, $\frac{\partial ρ}{\partial t} + div (ρ v) = 0$ , s'écrit à une dimension

$\frac{\partial μ}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x} ((ρ_{0} + μ) v) = 0 ordre 1 \frac{\partial μ}{\partial t} + ρ_{0} \frac{\partial v}{\partial x} = 0 (2)$

puisque $ρ_{0}$ est uniforme et constant et que $μv$ est d'ordre $2$ .

Q20. D'après Q17, $μ = ρ_{0} χ_{S} p$ , et (2) devient $χ_{S} \frac{\partial p}{\partial t} = - \frac{\partial v}{\partial x}$ (2'). On dérive (2') par rapport à $t$ et (1) par rapport à $x$ , puis on élimine la dérivée croisée $\frac{\partial ^{2} v}{\partial x \partial t}$ (théorème de Schwarz) :

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