Corrigé e3a 2025 Physique-chimie PSI — Partie II (Q24 à Q33) : Système vasculaire : le cœur comme pompe (premier principe en système ouvert), écoulement de Poiseuille dans les vaisseaux

Sujet officiel du concours e3a, session 2025, épreuve Physique-chimie PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

II.1 Modélisation du cœur.

Le cœur (ventricule gauche) est modélisé par une pompe qui fait circuler le sang dans le système vasculaire (figure 3). Fréquence cardiaque : $70$ pulsations par minute ; volume éjecté par pulsation : $75 c m^{3}$ ; section de l'aorte : $S = 3, 0 c m^{2}$ . On donne $P_{s} - P_{e} = 100 mbar$ , $v_{e} = v_{s} /2$ , et l'énergie interne massique $u$ du sang est constante. Sang : $ρ_{s} = 1, 1 \cdot 1 0^{3} kg \cdot m^{- 3}$ , $η = 4, 0 mPa \cdot s$ .

Figure 3 — Cœur et système vasculaire.

Q24. Calculer le débit volumique sanguin moyen $D$ , puis la vitesse $v_{s}$ du sang dans l'aorte.
Q25. Le cœur étant une pompe adiabatique, calculer le travail utile massique qu'il fournit, puis la puissance correspondante.

II.2 Écoulement sanguin.

Un vaisseau est un cylindre d'axe $O x$ , de longueur $L$ et de rayon $R ≪ L$ . Le sang est un fluide visqueux, incompressible et homogène ( $η$ , $ρ$ ), en écoulement permanent et laminaire ; la pesanteur est négligée. En coordonnées cylindriques, $v (M) = v (r, θ, x) u_{x}$ . On étudie la portion cylindrique de fluide de rayon $r$ et de longueur $L$ , avec la pression $P_{1}$ à l'entrée et $P_{2}$ à la sortie.

Q26. Condition sur le nombre de Reynolds pour que l'écoulement soit laminaire ?
Q27. Montrer que $v$ ne dépend que de $r$ ; vitesse du fluide au contact de la paroi ?
Q28. La force surfacique de viscosité sur l'élément de fluide étant $η \frac{d v}{d r} u_{x}$ , exprimer la force de viscosité qu'il subit.
Q29. Exprimer les forces de pression en amont et en aval.
Q30. Montrer que $\frac{d v}{d r} = - \frac{P _{1} - P _{2}}{2 η L} r$ et en déduire $v (M)$ .
Q31. Montrer que $D_{v} = \frac{π R ^{4}}{8 η L} (P_{1} - P_{2})$ et exprimer la vitesse moyenne $v_{m}$ .
Q32. Capillaires : $L = 1, 0 cm$ , $R = 5, 0 μ m$ , perte de charge $10 kPa$ . Vérifier que l'écoulement est laminaire.
Q33. Les capillaires étant tous en dérivation, le sang y circulant à environ $1 mm \cdot s^{- 1}$ , estimer leur nombre.

Corrigé

Q24. Le cœur éjecte $V_{0} = 75 c m^{3}$ à chaque pulsation, à la fréquence $f_{c} = 70 mi n^{- 1} = 70/60 s^{- 1}$ :

$D = f_{c} V_{0} = \frac{70}{60} \times 75 \cdot 1 0^{- 6} \approx 8, 8 \cdot 1 0^{- 5} m^{3} \cdot s^{- 1}$

( $87, 5 c m^{3} \cdot s^{- 1}$ , soit environ $5 L \cdot mi n^{- 1}$ : le volume sanguin total circule en une minute environ). Le débit est le flux de la vitesse à travers la section de l'aorte, supposée uniforme :

$v_{s} = \frac{D}{S} = \frac{8 , 75 \cdot 1 0 ^{- 5}}{3 , 0 \cdot 1 0 ^{- 4}} \approx 0, 29 m \cdot s^{- 1} .$

C'est une vitesse moyenne sur le cycle cardiaque ; pendant l'éjection, qui dure environ un tiers du cycle, la vitesse est plus grande (de l'ordre du $m \cdot s^{- 1}$ ).

Ce que le correcteur attend : un débit en $m^{3} \cdot s^{- 1}$ et une vitesse en $m \cdot s^{- 1}$ , de l'ordre de quelques dizaines de $cm \cdot s^{- 1}$ (une vitesse de plusieurs centaines de $m \cdot s^{- 1}$ est absurde).

Q25. Système : le sang qui traverse le cœur, système ouvert en régime permanent (en moyenne sur un cycle), entre l'entrée $e$ et la sortie $s$ . Le premier principe pour un système ouvert en écoulement permanent s'écrit, par unité de masse,

$Δ h + Δ e_{c} + Δ (g z) = w_{u} + q .$

La pompe est adiabatique ( $q = 0$ ) ; l'entrée et la sortie sont à la même altitude ( $Δ (g z) = 0$ ). Le sang est incompressible et son énergie interne massique est constante, donc $h = u + P / ρ_{s}$ donne $Δ h = (P_{s} - P_{e}) / ρ_{s}$ . Avec $v_{e} = v_{s} /2$ , $Δ e_{c} = \frac{1}{2} (v_{s}^{2} - v_{e}^{2}) = \frac{3}{8} v_{s}^{2}$ :

$w_{u} = \frac{P _{s} - P _{e}}{ρ _{s}} + \frac{3}{8} v_{s}^{2} = \frac{1 , 0 \cdot 1 0 ^{4}}{1 , 1 \cdot 1 0 ^{3}} + \frac{3}{8} \times 0, 2 9^{2} \approx 9, 09 + 0, 03 \approx 9, 1 J \cdot k g^{- 1}$

( $100 mbar = 1, 0 \cdot 1 0^{4} Pa$ ). Le terme cinétique est négligeable : le cœur fournit essentiellement un travail de pression. La puissance est le produit du travail massique par le débit massique $D_{m} = ρ_{s} D$ :

$P = ρ_{s} D w_{u} = 1, 1 \cdot 1 0^{3} \times 8, 75 \cdot 1 0^{- 5} \times 9, 1 \approx 0, 9 W$

(soit, à $3%$ près, $D (P_{s} - P_{e}) = 0, 875 W$ ). Le cœur gauche fournit une puissance mécanique de l'ordre du watt, très faible devant la puissance métabolique du corps au repos (une centaine de watts).

Ce que le correcteur attend : le premier principe pour un système ouvert (enthalpie, et non énergie interne) ; un travail massique en $J \cdot k g^{- 1}$ , une puissance en W.

Q26. Le nombre de Reynolds compare le transport de quantité de mouvement par convection à son transport par diffusion visqueuse :

$R e = \frac{ρ v D _{t}}{η},$

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