Corrigé e3a 2025 Physique et chimie PC — Physique, Partie I (Q1 à Q7) : Pression de radiation d'une onde électromagnétique sur un conducteur : onde stationnaire, force de Laplace, relation de Maxwell

Sujet officiel du concours e3a, session 2025, épreuve Physique et chimie PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Fil conducteur de la partie physique : la pression de radiation, force moyenne par unité de surface qu'une onde exerce sur un obstacle (Kepler et la queue des comètes, Maxwell, pinces optiques). Base cartésienne $(e_{x}, e_{y}, e_{z})$ de la figure 1. Données (fin de la partie physique) : $c = 3, 0 \times 1 0^{8} m \cdot s^{- 1}$ , $h = 6, 63 \times 1 0^{- 34} m^{2} \cdot kg \cdot s^{- 1}$ , formules de transformation somme-produit.

Une onde plane progressive harmonique, polarisée rectilignement, se propage dans le vide vers les $x$ croissants :

$E_{i} = E_{0} cos (ω t - k x) e_{y}, B_{i} = B_{0} cos (ω t - k x) e_{z} .$

Q1. Relation entre $E_{0}$ et $B_{0}$ .

Un conducteur ohmique immobile occupe $x > 0$ . La réflexion en $x = 0$ (bon réflecteur) déphase $E$ de $π$ et ne déphase pas $B$ :

$E_{r} = - E_{0} cos (ω t + k x) e_{y}, B_{r} = B_{0} cos (ω t + k x) e_{z} .$

{Figure 1 — Schéma de la situation : onde incidente sur un conducteur occupant $x > 0$ (pavé élémentaire de côtés $d x$ , $d y$ , $d z$ ).}

Q2. Champs $E_{vide}$ et $B_{vide}$ dans le demi-espace $x < 0$ .

Dans le conducteur, le champ électrique transmis est quasi nul et $B_{t} = B_{t} (x, t) e_{z}$ , avec $B_{t} (0, t) = 2 B_{0} cos (ω t)$ et $B_{t} \to 0$ quand $x \to + \infty$ .

Q3. Équation de Maxwell-Ampère, sa forme dans l'ARQS magnétique ; montrer que la surface $d x d z e_{y}$ est traversée par $d i = - \frac{1}{μ _{0}} \frac{\partial B _{t}}{\partial x} d x d z$ .
Q4. Force de Laplace sur l'élément $d ℓ = d y e_{y}$ parcouru par $d i$ , dans le champ $B_{t} (x, t)$ .
Q5. Montrer que la force sur un pavé de section $d y d z$ et de longueur infinie selon $x$ vaut $d F_{pav e ˊ} = \frac{2 B _{0}^{2}}{μ _{0}} cos^{2} (ω t) d y d z e_{x}$ ; sa moyenne temporelle.
Q6. On pose $⟨ d F_{pav e ˊ} ⟩ = p_{rad} d y d z e_{x}$ : expression de la pression de radiation.
Q7. Justifier la relation de Maxwell entre $p_{rad}$ et la moyenne temporelle de la densité d'énergie électromagnétique dans le vide.

Corrigé

Q1. Pour une onde plane progressive dans le vide, de direction de propagation $u = e_{x}$ , la structure de l'onde (conséquence des équations de Maxwell, par exemple de Maxwell-Faraday $rot E = - \partial B / \partial t$ ) s'écrit

$B_{i} = \frac{u \land E _{i}}{c} = \frac{E _{0}}{c} cos (ω t - k x) (e_{x} \land e_{y}) = \frac{E _{0}}{c} cos (ω t - k x) e_{z},$

d'où

$B_{0} = \frac{E _{0}}{c} avec k = \frac{ω}{c} .$

La question dit « rappeler » : la relation se cite, sa justification par la structure de l'onde plane progressive suffit. $(E_{i}, B_{i}, e_{x})$ forme un trièdre direct, ce qui fixe le signe de $B_{0}$ .

Vérification sur l'onde réfléchie. Elle se propage selon $u^{'} = - e_{x}$ : $\frac{u ^{'} \land E _{r}}{c} = \frac{- E _{0}}{c} cos (ω t + k x) (- e_{x} \land e_{y}) = B_{0} cos (ω t + k x) e_{z}$ , ce qui est bien $B_{r}$ : les données de l'énoncé sont cohérentes.

Q2. Dans le vide ( $x < 0$ ), le champ est la superposition (équations de Maxwell linéaires) de l'onde incidente et de l'onde réfléchie. Avec $cos a - cos b = - 2 sin \frac{a + b}{2} sin \frac{a - b}{2}$ , où $a = ω t - k x$ et $b = ω t + k x$ :

$E_{vide} = E_{0} [cos (ω t - k x) - cos (ω t + k x)] e_{y} = - 2 E_{0} sin (ω t) sin (- k x) e_{y},$

$E_{vide} (x, t) = 2 E_{0} sin (k x) sin (ω t) e_{y} .$

Avec $cos a + cos b = 2 cos \frac{a + b}{2} cos \frac{a - b}{2}$ :

$B_{vide} (x, t) = 2 B_{0} cos (k x) cos (ω t) e_{z} .$

C'est une onde stationnaire : les dépendances en $x$ et en $t$ sont séparées. En $x = 0$ , $E$ a un nœud (le champ électrique tangentiel est nul à la surface du bon conducteur) et $B$ un ventre, $B (0, t) = 2 B_{0} cos (ω t)$ : on retrouve la valeur imposée à l'onde transmise, $B$ tangentiel étant continu à la traversée de la surface (pas de courant surfacique ici, le courant étant réparti en volume dans le conducteur). Ce que le correcteur attend : ne pas oublier l'onde réfléchie, et reconnaître l'onde stationnaire.

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