Corrigé e3a 2025 Physique et chimie PC — Physique, Partie II (Q8 à Q13) : Aspect corpusculaire : pression d'un gaz de photons, incidence oblique, force d'un faisceau laser sur un cheveu

Q8. D'après la relation de Louis de Broglie (ou d'Einstein pour le photon, particule de masse nulle d'énergie $E=h\nu$ et de quantité de mouvement $p=E/c$), la quantité de mouvement d'un photon de fréquence $\nu$, se propageant selon le vecteur unitaire $\overrightarrow{u}$, est

$$\boxed{\overrightarrow{p}=\frac{h\nu }{c}\overrightarrow{u}=\frac{h}{\lambda }\overrightarrow{u}}.$$

Orientons l'axe $(Ox)$ normal à la surface, dirigé vers elle. En incidence normale, le photon arrive avec ${\overrightarrow{p}}_i=\frac{h\nu }{c}{\overrightarrow{e}}_x$ et repart, sans perte d'énergie (même fréquence $\nu$), avec ${\overrightarrow{p}}_r=-\frac{h\nu }{c}{\overrightarrow{e}}_x$. Sa variation de quantité de mouvement est

$$\boxed{\Delta \overrightarrow{p}={\overrightarrow{p}}_r-{\overrightarrow{p}}_i=-\frac{2h\nu }{c}{\overrightarrow{e}}_x}.$$

Ce que le correcteur attend : un raisonnement vectoriel. La norme de $\overrightarrow{p}$ est conservée, mais pas le vecteur : la variation n'est pas nulle, elle vaut le double de la quantité de mouvement incidente.

Q9. Nombre de photons. Les photons se déplacent tous à la vitesse $c$ selon ${\overrightarrow{e}}_x$. Ceux qui frappent la surface $S$ pendant $\Delta t$ sont ceux qui se trouvent, à l'instant initial, dans le cylindre de base $S$ et de longueur $c\Delta t$ :

$$N=nSc\Delta t.$$

Force. Système : l'ensemble de ces $N$ photons. Leur quantité de mouvement totale varie, pendant $\Delta t$, de $N\Delta \overrightarrow{p}$. La deuxième loi de Newton, sous la forme ${\overrightarrow{F}}_{\text{paroi}\to \text{photons}}=\frac{\Delta \overrightarrow{P}}{\Delta t}$, donne

$${\overrightarrow{F}}_{\text{paroi}\to \text{photons}}=\frac{nSc\Delta t}{\Delta t}\left(-\frac{2h\nu }{c}\right){\overrightarrow{e}}_x=-2nh\nu S{\overrightarrow{e}}_x.$$

D'après la troisième loi de Newton (principe des actions réciproques), les photons exercent sur la surface

$$\boxed{{\overrightarrow{F}}_{\text{photons}\to \text{paroi}}=2nh\nu S{\overrightarrow{e}}_x},$$

force normale, dirigée vers l'intérieur de la paroi, et proportionnelle à $S$. La pression de radiation est

$$\boxed{p_{\text{rad}}=\frac{F}{S}=2nh\nu }.$$

Homogénéité : $n$ en ${\mathrm{m}}^{-3}$ et $h\nu$ en $\mathrm{J}$, donc $p_{\text{rad}}$ en $\mathrm{J}\cdot {\mathrm{m}}^{-3}=\mathrm{Pa}$.

Q10. Chaque photon transporte l'énergie $h\nu$. Devant la paroi coexistent les photons incidents (densité $n$) et les photons réfléchis : chaque photon incident donne un photon réfléchi de même vitesse $c$, donc de même densité $n$ en régime permanent. La densité volumique d'énergie des photons présents dans le vide est

$$u=nh\nu +nh\nu =2nh\nu ,$$

d'où

$$\boxed{p_{\text{rad}}=u},$$