Corrigé e3a 2025 Physique et chimie PC — Physique, Partie III (Q14 à Q18) : Réflexion d'une onde sur une corde fixée par un anneau : force du second ordre et énergie linéique

Sujet officiel du concours e3a, session 2025, épreuve Physique et chimie PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Corde de masse linéique $ρ$ , tendue avec la tension $T$ , horizontale au repos selon $(O x)$ (pesanteur négligée). Petits mouvements transversaux $y (x, t)$ selon $(O y)$ : la tangente fait un petit angle avec l'horizontale. Le principe fondamental de la dynamique au premier ordre donne l'équation d'onde

$\frac{\partial ^{2} y}{\partial t ^{2}} = \frac{T}{ρ} \frac{\partial ^{2} y}{\partial x ^{2}} . (1)$

Un petit anneau fixe en $x = 0$ , de diamètre intérieur égal à celui de la corde, réfléchit les ondes. Au repos, la force de la corde sur l'anneau est nulle ; en présence d'une onde transversale polarisée selon $e_{y}$ , la corde exerce sur l'anneau les forces $T_{1}$ et $T_{2}$ , de même norme $T$ .

{Figure 3 — Corde vibrante fixée en $x = 0$ par un anneau.}

Q14. Force $F$ exercée par la corde sur l'anneau en fonction de $T$ et de l'angle (non orienté, positif) $β$ entre $T_{2}$ et l'horizontale ; justifier qu'au second ordre $F \cdot e_{x} = \frac{T}{2} (\frac{\partial y}{\partial x})_{x = 0^{-}}^{2}$ et $F \cdot e_{y} = - T (\frac{\partial y}{\partial x})_{x = 0^{-}}$ .

Onde incidente $y_{i} (x, t) = A sin (ω t - k x)$ , onde réfléchie sur l'anneau $y_{r} (x, t) = - A sin (ω t + k x)$ .

Q15. Relation entre la célérité $c$ , $ω$ et $k$ ; expression de $c$ en fonction de $T$ et $ρ$ .
Q16. Onde résultante pour $x < 0$ ; type d'onde.
Q17. Projection de la force sur $(O x)$ pour cette onde, puis sa valeur moyenne $⟨ F \cdot e_{x} ⟩$ .

Densité linéique d'énergie de l'onde : $ε (x, t) = \frac{1}{2} ρ (\frac{\partial y}{\partial t})^{2} + \frac{1}{2} T (\frac{\partial y}{\partial x})^{2}$ .

Q18. Relier la moyenne spatiale de l'énergie linéique de l'onde résultante à $⟨ F \cdot e_{x} ⟩$ .

(Le sujet conclut : avec $p_{rad} = ⟨ F \cdot e_{x} ⟩ / S$ , $S$ section de la corde, on retrouve l'égalité entre pression de radiation et densité volumique moyenne d'énergie.)

Corrigé

Q14. Système : l'anneau, fixe dans le référentiel du laboratoire (galiléen). La corde, infiniment souple, exerce sur lui en chaque point une force tangente à elle-même, de norme $T$ . D'après la figure 3 :

la partie droite ( $x > 0$ ) reste rectiligne et horizontale (l'anneau étant fixe, aucune onde n'est transmise) : elle tire l'anneau vers les $x$ croissants, $T_{1} = T e_{x}$ ;
la partie gauche ( $x < 0$ ) tire l'anneau le long de sa tangente en $x = 0^{-}$ , vers le haut et vers la gauche sur la figure : $T_{2} = T (- cos β e_{x} + sin β e_{y})$ .

La force totale exercée par la corde sur l'anneau est

$F = T_{1} + T_{2} = T (1 - cos β) e_{x} + T sin β e_{y} .$

On vérifie qu'elle est nulle au repos ( $β = 0$ ).

Lien avec la pente. Sur la figure, la corde descend vers l'anneau quand $x$ croît : la pente en $x = 0^{-}$ est négative et $tan β = - (\frac{\partial y}{\partial x})_{x = 0^{-}}$ . Les petits mouvements donnent $β ≪ 1$ , d'où $β \approx - (\frac{\partial y}{\partial x})_{x = 0^{-}}$ au premier ordre. Les développements limités $sin β \approx β$ (premier ordre) et $1 - cos β \approx β^{2} /2$ (second ordre) donnent

$F \cdot e_{x} = \frac{T}{2} (\frac{\partial y}{\partial x})_{x = 0^{-}}^{2}, F \cdot e_{y} = - T (\frac{\partial y}{\partial x})_{x = 0^{-}} .$

La formule de $F \cdot e_{y}$ vaut aussi quand la pente est positive (alors $T_{2}$ pointe vers le bas) : la composante verticale est toujours $- T \partial y / \partial x$ . Ce que le correcteur attend : la projection sur l'axe horizontal. Au premier ordre ( $cos β \approx 1$ ), $T_{1}$ et la composante horizontale de $T_{2}$ se compensent exactement ; la composante horizontale de $F$ n'apparaît qu'au second ordre en $β$ . C'est elle qui donnera la pression de radiation : un effet quadratique en l'amplitude.

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