Corrigé e3a 2025 Physique et chimie PC — Physique, Partie IV (Q19 à Q22) : Pression de radiation acoustique : énergie volumique, onde stationnaire et vérification expérimentale à la balance

Sujet officiel du concours e3a, session 2025, épreuve Physique et chimie PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

La pression de radiation acoustique peut déformer une interface (image 3 du sujet, photographie : l'interface eau-air se soulève en une bosse millimétrique sous le faisceau ultrasonore).

L'air, gaz parfait, est au repos en l'absence de perturbation : masse volumique $ρ_{0}$ , pression $p_{0}$ , température $T_{0}$ uniformes. Onde plane de célérité $c$ selon $(O x)$ : $p = p_{0} + p_{1} (x, t)$ avec $∣ p_{1} ∣ ≪ p_{0}$ (pression acoustique), $ρ = ρ_{0} + ρ_{1}$ avec $∣ ρ_{1} ∣ ≪ ρ_{0}$ , vitesse particulaire $v = v_{1} (x, t)$ avec $∣ v_{1} ∣ ≪ c$ . La pression acoustique vérifie l'équation de d'Alembert $\frac{\partial ^{2} p _{1}}{\partial t ^{2}} = c^{2} \frac{\partial ^{2} p _{1}}{\partial x ^{2}}$ , avec $c = \frac{1}{ρ _{0} χ _{0}}$ , $χ_{0}$ coefficient de compressibilité isentropique.

Onde plane progressive harmonique incidente $p_{1} (x, t) = p_{1, 0} cos (ω t - k x)$ , venant des $x < 0$ ; obstacle en $x = 0$ .

Q19. Pourquoi la pression acoustique n'explique-t-elle pas la pression de radiation sur l'obstacle ?

On utilise l'égalité des parties précédentes entre pression de radiation et moyenne temporelle de l'énergie volumique de l'onde, avec $e (x, t) = \frac{1}{2} ρ_{0} v_{1}^{2} + \frac{1}{2} χ_{0} p_{1}^{2}$ .

Q20. Pour l'onde plane progressive incidente, justifier $e (x, t) = χ_{0} p_{1} (x, t)^{2}$ .
Q21. Avec l'onde réfléchie $p_{1, 0} cos (ω t + k x)$ : densité volumique d'énergie de l'onde totale ; pression de radiation acoustique en fonction de $χ_{0}$ et $p_{1, 0}$ .

Vérification expérimentale : émetteur ultrasonore à $40 kHz$ , alimenté par une tension sinusoïdale d'amplitude $U_{e}$ ; l'amplitude de la pression acoustique est proportionnelle à $U_{e}$ . L'émetteur, à $3 cm$ au-dessus du plateau d'une balance de précision (image 4, photographie du montage : générateur, émetteur sur potence, balance), fait afficher une masse $m$ qui mesure la force due à la pression de radiation.

$U_{e}$ ( $V$ )	4	4,5	5	6	6,5	7	8	8,5	9	9,5	10
$m$ ( $mg$ )	5	6	7	10	11	14	17	19	21	23	26

Q22. Montrer, par une analyse graphique, que ces mesures sont compatibles avec Q21.

Corrigé

Q19. Sur l'obstacle, de surface $S$ , la pression acoustique exerce la force $p_{1} (0, t) S$ (en plus de la force $p_{0} S$ , compensée par l'air situé de l'autre côté, et qui existe sans onde). Or $p_{1}$ est une grandeur sinusoïdale de moyenne nulle : avec l'onde incidente et l'onde réfléchie, $p_{1} (0, t) = 2 p_{1, 0} cos (ω t)$ , et $⟨ p_{1} (0, t)⟩ = 0$ . Cette force oscille à $40 kHz$ ; elle pousse et tire alternativement l'obstacle et sa moyenne est nulle : elle ne peut pas rendre compte d'une force permanente (une balance, beaucoup trop lente pour suivre $40 kHz$ , n'en mesure que la moyenne).

La pression de radiation est un effet non linéaire, du second ordre en amplitude (proportionnel à $p_{1, 0}^{2}$ , comme on va le voir), qui échappe par construction à l'approximation acoustique linéarisée, où l'on ne garde que les termes du premier ordre ( $p_{1}$ , $ρ_{1}$ , $v_{1}$ ). C'était déjà le cas pour la corde (Q14 et Q17) : la composante utile de la force n'apparaissait qu'au second ordre. Ce que le correcteur attend : l'argument « $⟨ p_{1} ⟩ = 0$ » et l'ordre deux de l'effet ; ce n'est pas une question de nature (mécanique ou électromagnétique) de l'onde.

Q20. Pour une onde plane progressive selon $+ e_{x}$ , l'équation d'Euler linéarisée (principe fondamental de la dynamique appliqué à une particule de fluide, au premier ordre) s'écrit

$ρ_{0} \frac{\partial v _{1}}{\partial t} = - \frac{\partial p _{1}}{\partial x} .$

Avec $p_{1} = p_{1, 0} cos (ω t - k x)$ : $ρ_{0} \frac{\partial v _{1}}{\partial t} = - k p_{1, 0} sin (ω t - k x)$ , d'où, en intégrant (sans terme constant, le fluide étant au repos en l'absence d'onde),

$v_{1} = \frac{k}{ρ _{0} ω} p_{1, 0} cos (ω t - k x) = \frac{p _{1}}{ρ _{0} c}$

(impédance acoustique $Z = ρ_{0} c$ , $p_{1}$ et $v_{1}$ en phase). Alors

$\frac{1}{2} ρ_{0} v_{1}^{2} = \frac{1}{2} ρ_{0} \frac{p _{1}^{2}}{ρ _{0}^{2} c ^{2}} = \frac{p _{1}^{2}}{2 ρ _{0} c ^{2}} = \frac{1}{2} χ_{0} p_{1}^{2},$

puisque $ρ_{0} c^{2} = 1/ χ_{0}$ . Les énergies volumiques cinétique et « potentielle » (de compression) sont égales à chaque instant, et

$e (x, t) = \frac{1}{2} χ_{0} p_{1}^{2} + \frac{1}{2} χ_{0} p_{1}^{2} = χ_{0} p_{1} (x, t)^{2} .$

Ce que le correcteur attend : établir l'égalité des deux termes, et non négliger le terme en $v_{1}$ (qui n'est pas petit devant l'autre : il lui est égal).

Q21. Champs de l'onde totale. Pression : par linéarité,

$p_{1} = p_{1, 0} [cos (ω t - k x) + cos (ω t + k x)] = 2 p_{1, 0} cos (k x) cos (ω t) .$

Vitesse : pour l'onde réfléchie, qui se propage selon $- e_{x}$ , Euler donne $v_{1, r} = - p_{1, r} / (ρ_{0} c)$ ; donc

$v_{1} = \frac{p _{1, 0}}{ρ _{0} c} [cos (ω t - k x) - cos (ω t + k x)] = \frac{2 p _{1, 0}}{ρ _{0} c} sin (k x) sin (ω t) .$

On vérifie $v_{1} (0, t) = 0$ : l'obstacle immobile impose une vitesse nulle (nœud de vitesse, ventre de pression), ce qui justifie l'onde réfléchie proposée, de même amplitude et de même signe en pression (réflexion totale sur une paroi rigide).

Densité volumique d'énergie :

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