Corrigé e3a 2026 Physique-chimie MP — Partie II (Q11 à Q19) : Le laser hélium-néon : modes de la cavité, mesure de lambda au Michelson

Sujet officiel du concours e3a, session 2026, épreuve Physique-chimie MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Un laser He-Ne émet à $λ = 632, 8 nm$ . Dans la cavité de longueur $L$ (axe $x$ , assimilée au vide), l'onde est stationnaire : $E (x, t) = f (x) sin (ω t)$ ; les miroirs en $x = 0$ et $x = L$ sont des conducteurs parfaits. La figure 1 est une photographie du laser He-Ne 1107/P (JDS Uniphase) : un tube cylindrique noir, avec une barre d'échelle de $2 cm$ reportée environ $6, 5$ fois dans sa longueur. On mesure ensuite $λ$ avec un Michelson en lame d'air dont un miroir est translaté à la vitesse $V_{0} = 0, 667 μ m \cdot s^{- 1}$ : $n = 20$ étudiants chronomètrent la durée $τ$ de défilement de $k = 100$ anneaux (moyenne $τ = 47, 5 s$ , écart-type $s_{τ} = 1, 9 s$ , $u (τ) = s_{τ} / n$ , $u (k) = 1$ , $u (V_{0}) = 0, 001 μ m \cdot s^{- 1}$ ). Donnée : $c = 3, 0 \times 1 0^{8} m \cdot s^{- 1}$ .

Q11. Citer trois applications des lasers.
Q12. Justifier énergétiquement que $E$ est nul dans un conducteur parfait.
Q13. Établir l'équation de d'Alembert dans le vide ; en déduire l'équation vérifiée par $f$ .
Q14. Résoudre avec la continuité de $E$ en $0$ et $L$ ; fréquences propres $ν_{n}$ et $ISL = ν_{n + 1} - ν_{n}$ .
Q15. Estimer l'ISL du laser photographié ; comparer à $1090 MHz$ .
Q16. Relier $λ$ , $k$ , $V_{0}$ et $τ$ .
Q17. Exprimer $u (λ)$ ; avec $u (λ) = 7, 6 nm$ et $λ_{e x p} = 633, 7 nm$ , calculer l'écart normalisé et conclure.
Q18. Le laser émet deux modes $ν_{1} = c / λ$ et $ν_{2} = ν_{1} + ISL$ : différence de marche $δ_{b}$ du premier brouillage au centre.
Q19. Calculer $δ_{b}$ pour $ISL = 1, 1 GHz$ , comparer aux possibilités d'un Michelson usuel.

Corrigé

Q11. Par exemple : lecture optique (codes-barres en caisse, disques CD/DVD/Blu-ray), télécommunications par fibre optique ; découpe, soudure et marquage de métaux dans l'industrie, télémétrie et nivellement sur les chantiers ; chirurgie de l'œil (correction de la myopie), dermatologie ; en recherche, refroidissement d'atomes, interférométrie de précision (détection des ondes gravitationnelles), spectroscopie.

Q12. Un conducteur parfait est un conducteur ohmique de conductivité $γ \to \infty$ . La loi d'Ohm locale $ = γ E$ donne une puissance volumique cédée par le champ aux porteurs (effet Joule)

$p_{J} =  \cdot E = γ E^{2} .$

Si $E$ était non nul, cette puissance serait infinie quand $γ \to \infty$ , ce qui est physiquement impossible (aucune source ne peut la fournir). On en conclut $E = 0$ à l'intérieur d'un conducteur parfait (le courant $$ restant, lui, fini).

Q13. Dans une région vide de charges et de courants ( $ρ = 0$ , $ = 0$ ), les équations de Maxwell s'écrivent

$div E = 0, rot E = - \frac{\partial B}{\partial t}, div B = 0, rot B = μ_{0} ε_{0} \frac{\partial E}{\partial t} .$

Prenons le rotationnel de Maxwell-Faraday, en permutant dérivées spatiales et temporelle :

$rot (rot E) = - \frac{\partial}{\partial t} rot B = - μ_{0} ε_{0} \frac{\partial ^{2} E}{\partial t ^{2}} .$

Avec l'identité donnée et Maxwell-Gauss, $rot (rot E) = grad (div E) - Δ E = - Δ E$ , d'où l'équation de d'Alembert

$Δ E - \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} E}{\partial t ^{2}} = 0, c = \frac{1}{μ _{0} ε _{0}} .$

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