Corrigé e3a 2026 Physique-chimie MPI — Partie I (Q1 à Q9) : L'hélium, un gaz rare dans l'atmosphère : vitesse de libération et vitesse quadratique

Sujet officiel du concours e3a, session 2026, épreuve Physique-chimie MPI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

La Terre (centre $O$ , masse $M_{T}$ , rayon $R_{T}$ ) attire un atome d'hélium assimilé à un point matériel $P$ de masse $m$ , soumis à la seule force gravitationnelle $F$ ; on travaille dans le référentiel géocentrique supposé galiléen. On décrit ensuite l'atmosphère comme un gaz parfait ; le sujet définit la vitesse quadratique moyenne de l'hélium par $u = 3 R T / M_{He}$ (relation (2)) et admet que l'hélium s'échappe si $u$ dépasse le dixième de la vitesse de libération.

Données : $G = 7, 0 \times 1 0^{- 11} m^{3} \cdot k g^{- 1} \cdot s^{- 2}$ , $M_{T} = 6, 0 \times 1 0^{24} kg$ , $R_{T} = 6, 0 \times 1 0^{6} m$ , $R = 8, 0 J \cdot mo l^{- 1} \cdot K^{- 1}$ , $M_{He} = 4, 0 \times 1 0^{- 3} kg \cdot mo l^{- 1}$ ; calculatrice interdite.

Q1. Donner les deux principaux constituants de l'atmosphère et leurs proportions.
Q2. Exprimer $F$ et l'énergie potentielle $E_{p}$ (nulle à l'infini).
Q3. Exprimer $E_{m}$ et justifier sa conservation.
Q4. Montrer que le mouvement est plan et que $C = r^{2} θ ˙$ est constante.
Q5. Écrire $E_{m} = \frac{1}{2} m r ˙^{2} + E_{p, eff} (r)$ et expliciter $E_{p, eff}$ .
Q6. Tracer $E_{p, eff} (r)$ ; pour quels $E_{m}$ l'atome est-il en état de diffusion ?
Q7. Exprimer et calculer la vitesse de libération $v_{ℓ}$ .
Q8. Énoncer les hypothèses du modèle du gaz parfait.
Q9. Calculer $u$ à $T = 300 K$ et conclure sur la rareté de l'hélium atmosphérique.

Corrigé

Q1. L'air sec est composé, en quantité de matière (ou en volume), d'environ $78 %$ de diazote $N X_{2}$ et $21 %$ de dioxygène $O X_{2}$ ; le reste (environ $1 %$ ) est essentiellement de l'argon, avec des traces de $CO X_{2}$ ( $0, 04 %$ ) et de gaz rares. L'hélium n'y représente qu'environ $5$ millionièmes.

Q2. Loi de la gravitation universelle de Newton, avec $e_{r} = O P / O P$ et $r = O P$ ( $r \geq R_{T}$ ) :

$F = - \frac{G M _{T} m}{r ^{2}} e_{r} .$

Cette force est conservative : $F = - grad E_{p}$ avec $E_{p}$ ne dépendant que de $r$ , donc $\frac{d E _{p}}{d r} = \frac{G M _{T} m}{r ^{2}}$ , soit, avec $E_{p} (\infty) = 0$ :

$E_{p} (r) = - \frac{G M _{T} m}{r} .$

Q3. $E_{m} = E_{c} + E_{p} = \frac{1}{2} m v^{2} - \frac{G M _{T} m}{r}$ . Dans le référentiel géocentrique galiléen, $P$ n'est soumis qu'à $F$ , force conservative : le théorème de l'énergie mécanique donne $\frac{d E _{m}}{d t} = P_{non cons.} = 0$ . L'énergie mécanique se conserve.

Q4. Théorème du moment cinétique en $O$ (point fixe du référentiel galiléen) :

$\frac{d L _{O}}{d t} = O P \land F = r e_{r} \land (- \frac{G M _{T} m}{r ^{2}} e_{r}) = 0,$

car la force est centrale. Donc $L_{O} = O P \land m v$ est un vecteur constant. Si $L_{O} \neq = 0$ , $O P$ reste orthogonal au vecteur fixe $L_{O}$ : $P$ se déplace dans le plan passant par $O$ et orthogonal à $L_{O}$ . (Si $L_{O} = 0$ , $v$ est colinéaire à $O P$ et le mouvement est rectiligne sur une droite passant par $O$ , donc plan aussi.)

Dans ce plan, en coordonnées polaires ( $e_{z}$ désignant le vecteur unitaire normal au plan, colinéaire à $L_{O}$ ), $v = r ˙ e_{r} + r θ ˙ e_{θ}$ et

$L_{O} = r e_{r} \land m (r ˙ e_{r} + r θ ˙ e_{θ}) = m r^{2} θ ˙ e_{z},$

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