Corrigé e3a 2026 Physique-chimie MPI — Partie III (Q19 à Q28) : Spectromètre de masse : mouvement d'un ion dans un champ magnétique uniforme

Sujet officiel du concours e3a, session 2026, épreuve Physique-chimie MPI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Dans un spectromètre de masse, un ion non relativiste de charge $e > 0$ , de masse $m$ , arrive en $O$ à $t = 0$ avec la vitesse $v_{0} = v_{0} e_{x}$ et pénètre dans un tube courbe où règne un champ magnétique uniforme et stationnaire, de direction $e_{z}$ et de norme $B$ . Le poids est négligé, le référentiel terrestre est galiléen. Sur la figure 4, les trajectoires s'incurvent vers $- e_{y}$ ; la trajectoire (1) est la plus intérieure, (2) atteint le détecteur, (3) est la plus extérieure.

Figure 4 — Schéma de principe du spectromètre de masse

Données : $M_{He} = 4, 0 \times 1 0^{- 3} kg \cdot mo l^{- 1}$ , $N_{A} = 6, 0 \times 1 0^{23} mo l^{- 1}$ , $e = 1, 6 \times 1 0^{- 19} C$ , $B = 0, 10 T$ , $c = 3, 0 \times 1 0^{8} m \cdot s^{- 1}$ .

Q19. Montrer que la trajectoire est dans le plan $(O, e_{x}, e_{y})$ .
Q20. Justifier que le mouvement est uniforme ; préciser le sens de $B$ .
Q21. Établir les équations différentielles couplant $v_{x}$ et $v_{y}$ ( $ω = e B / m$ ).
Q22. Montrer que $u = v_{y} + j v_{x}$ vérifie $\frac{d u}{d t} - j ω u = 0$ .
Q23. Résoudre ; en déduire $v_{x} (t)$ et $v_{y} (t)$ .
Q24. Établir $x (t)$ et $y (t)$ .
Q25. Montrer que la trajectoire est circulaire, de rayon $R$ à expliciter.
Q26. Ions de même charge et même énergie cinétique : associer (1), (2), (3) aux ions légers, à l'hélium, aux ions lourds.
Q27. Calculer la durée $τ$ de passage des ions hélium (quart de cercle).
Q28. Pour $R$ de quelques centimètres, l'approximation non relativiste est-elle justifiée ?

Corrigé

Mise en équation.

Système : l'ion, point matériel de masse $m$ ; référentiel terrestre galiléen ; seule force : la force de Lorentz magnétique $F = e v \land B$ (poids négligé, pas de champ électrique). Principe fondamental de la dynamique :

$m \frac{d v}{d t} = e v \land B, B = B_{z} e_{z} .$

Q19. En projetant sur $e_{z}$ : $m \frac{d v _{z}}{d t} = e (v \land B) \cdot e_{z} = 0$ car $v \land B$ est orthogonal à $B$ , donc à $e_{z}$ . Ainsi $v_{z} = v_{z} (0) = 0$ , puis $z (t) = z (0) = 0$ : la trajectoire reste dans le plan $(O, e_{x}, e_{y})$ .

Q20. La puissance de la force magnétique est nulle : $P = (e v \land B) \cdot v = 0$ . Le théorème de l'énergie cinétique donne $\frac{d E _{c}}{d t} = 0$ : $E_{c}$ et donc $v = v_{0}$ sont constantes, le mouvement est uniforme.

Sens de $B$ : en $O$ , la trajectoire s'incurve vers $- e_{y}$ , donc la force (normale à la vitesse, dirigée vers le centre de courbure) est selon $- e_{y}$ . Or

$F (0) = e v_{0} B_{z} (e_{x} \land e_{z}) = - e v_{0} B_{z} e_{y},$

qui est selon $- e_{y}$ si et seulement si $B_{z} > 0$ : $B = + B e_{z}$ , dirigé vers le lecteur (sortant du plan de la figure, comme le symbole $⊙$ ). Ce que le correcteur attend : un raisonnement explicite sur le produit vectoriel, et non une affirmation.

Q21. Avec $B = B e_{z}$ : $v \land B = (v_{x} e_{x} + v_{y} e_{y}) \land B e_{z} = B (v_{y} e_{x} - v_{x} e_{y})$ . En projection, avec $ω = e B / m$ :

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