Corrigé e3a 2026 Physique-chimie MPI — Partie IV (Q29 à Q34) : Bulles de savon à l'hélium : équilibre, interférences en lame mince, fibre courbée

Sujet officiel du concours e3a, session 2026, épreuve Physique-chimie MPI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

On souffle de l'hélium dans un film d'eau savonneuse : les bulles de rayon supérieur à $r_{c} = 6 mm$ montent, les plus petites descendent. Modèle : boule d'hélium de rayon $r$ (masse volumique $ρ_{He}$ ) entourée d'une coque liquide d'épaisseur $e ≪ r$ (masse volumique $ρ_{ℓ}$ ) ; la poussée d'Archimède est le poids d'une boule d'air de rayon $r$ . La figure 5 est une photographie de l'expérience à deux instants (a) puis (b) : l'aiguille souffle l'hélium dans le film tendu sur le cadre et un train de bulles s'en détache, jusqu'à l'éclatement du film (aucune mesure à y lire).

On mesure ensuite $e$ par interférences entre le rayon (1), réfléchi sur la face inférieure du film (déphasage $π$ admis), et le rayon (2), réfracté (angle $i_{2}$ dans le film, incidence $i_{1}$ ), réfléchi sur la face supérieure puis ressorti parallèlement à (1).

Figure 6 — Mesure de l'épaisseur du film liquide : schéma et notations

La figure 7 donne le spectre réfléchi en incidence normale.

Figure 7 — Spectre mesuré

Enfin, une fibre optique (cœur d'indice $n_{1}$ , de diamètre $d$ , gaine d'indice $n_{2}$ ) est courbée ; sur la figure 8, $R$ est la distance du centre de courbure à l'axe de la fibre (la flèche $R$ traverse la gaine intérieure et s'arrête sur l'axe en pointillés), et la lumière arrive parallèlement à l'axe.

Figure 8 — Fibre optique courbée

Données : $ρ_{a} = 1, 2 kg \cdot m^{- 3}$ , $ρ_{He} = 0, 2 kg \cdot m^{- 3}$ , $ρ_{ℓ} = 1, 0 \times 1 0^{3} kg \cdot m^{- 3}$ , $n_{ℓ} = 1, 33$ , $n_{1} = 1, 55$ , $n_{2} = 1, 45$ , $d = 50 μ m$ .

Q29. Bulles sphérique et cubique de même volume : montrer $S_{s} / S_{c} = (π /6)^{1/3} < 1$ ; commenter.
Q30. Bilan des forces pour $r = r_{c}$ ; exprimer et calculer $e$ .
Q31. Par le théorème de Malus, montrer que $φ = \frac{α}{λ} cos i_{2} - π$ et expliciter $α$ .
Q32. Exprimer les longueurs d'onde éteintes $λ_{k}$ .
Q33. Déduire $e$ du spectre ( $i_{2} = 0$ ) et comparer à Q30.
Q34. Rayon de courbure minimal $R$ pour que toute la lumière reste guidée.

Corrigé

Q29. Même volume : $V_{0} = \frac{4}{3} π r^{3} = a^{3}$ . Alors $r = (\frac{3 V _{0}}{4 π})^{1/3}$ et

$S_{s} = 4 π r^{2} = 4 π (\frac{3 V _{0}}{4 π})^{2/3} = (36 π)^{1/3} V_{0}^{2/3}, S_{c} = 6 a^{2} = 6 V_{0}^{2/3} = (216)^{1/3} V_{0}^{2/3},$

d'où

$\frac{S _{s}}{S _{c}} = (\frac{36 π}{216})^{1/3} = (\frac{π}{6})^{1/3} \approx 0, 81 < 1 (car π < 6) .$

À volume égal, la sphère a une surface plus petite que le cube (c'est même, de toutes les formes, celle d'aire minimale : inégalité isopérimétrique). La tension superficielle tendant à minimiser l'aire du film (énergie de surface $γ S$ ), les bulles libres sont sphériques.

Q30. Système : la bulle (hélium + coque liquide), dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Au rayon critique, la bulle ne monte ni ne descend : elle est à l'équilibre, sans vitesse, donc sans force de traînée. Forces :

poids de l'hélium : $ρ_{He} \frac{4}{3} π r_{c}^{3} g$ , vers le bas ;
poids de la coque, de volume $\approx 4 π r_{c}^{2} e$ (car $e ≪ r_{c}$ ) : $ρ_{ℓ} 4 π r_{c}^{2} e g$ , vers le bas ;
poussée d'Archimède : $ρ_{a} \frac{4}{3} π r_{c}^{3} g$ , vers le haut.

L'équilibre (principe fondamental de la statique, projeté sur la verticale) donne $ρ_{a} \frac{4}{3} π r_{c}^{3} = ρ_{He} \frac{4}{3} π r_{c}^{3} + 4 π r_{c}^{2} e ρ_{ℓ}$ , soit

$e = \frac{( ρ _{a} - ρ _{He} ) r _{c}}{3 ρ _{ℓ}} = \frac{( 1 , 2 - 0 , 2 ) \times 6 \times 1 0 ^{- 3}}{3 \times 1 , 0 \times 1 0 ^{3}} = 2 \times 1 0^{- 6} m = 2 μ m .$

Interprétation : la force ascendante nette sur le gaz, $(ρ_{a} - ρ_{He}) \frac{4}{3} π r^{3} g$ , croît comme $r^{3}$ , alors que le poids de la coque croît comme $r^{2}$ : au-delà de $r_{c}$ la bulle monte, en deçà elle descend, conformément à l'expérience. On a bien $e ≪ r_{c}$ .

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