Corrigé e3a 2026 Physique-chimie PSI — Partie I.2 (Q7 à Q16) : Ondes acoustiques dans l'air : équation de d'Alembert, célérité du son, mesure de niveau par temps de vol ultrasonore

Sujet officiel du concours e3a, session 2026, épreuve Physique-chimie PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

L'eau est stockée dans un bassin de dessablage ; un capteur à ultrasons fixé au-dessus émet des salves réfléchies par la surface libre, à la distance $D (t)$ (figure 2).

Figure 2 — Bassin et capteur à ultrasons.

Air au repos : $(ϱ_{0}, P_{0}, T_{0})$ . L'onde se propage selon $u_{z}$ ; perturbations notées avec un tilde : $P = P_{0} + p ~ (z, t)$ , $ϱ = ϱ_{0} + ϱ ~ (z, t)$ , $v = v ~ (z, t) u_{z}$ (champ eulérien des vitesses).

Q7. Rappeler en quoi consiste l'approximation acoustique.
Q8. Conservation de la masse à une dimension, linéarisée.

Le PFD pour une particule de fluide, projeté sur $u_{z}$ , donne

$ϱ (\frac{\partial v ~}{\partial t} + v ~ \frac{\partial v ~}{\partial z}) = - \frac{\partial P}{\partial z} . (1)$

Q9. Interpréter les termes de (1) et la linéariser.
Q10. L'évolution étant isentropique, de compressibilité $χ_{S} = \frac{1}{ϱ} (\frac{\partial ϱ}{\partial P})_{S}$ , relier $ϱ ~$ et $p ~$ au voisinage de $(ϱ_{0}, P_{0}, T_{0})$ .
Q11. Montrer que $\frac{\partial ^{2} p ~}{\partial z ^{2}} = \frac{1}{c _{s}^{2}} \frac{\partial ^{2} p ~}{\partial t ^{2}}$ (2).
Q12. Nommer (2) ; expression, dimension et sens de $c_{s}$ .
Q13. Air gaz parfait : exprimer $ϱ_{0} (P_{0}, T_{0})$ ; relation $P (ϱ)$ isentropique ?
Q14. En déduire $c_{s} = γ R T_{0} / M_{air}$ et exprimer $M_{air}$ à l'aide des fractions molaires des constituants de l'air.
Q15. Calculer $ϱ_{0}$ et $c_{s}$ pour $P_{0} = 1, 0 bar$ et $T_{0} = 3, 0 \cdot 1 0^{2} K$ . Données : $R = 8, 3 J \cdot K^{- 1} \cdot mo l^{- 1}$ , $γ = 1, 4$ , $M_{O} = 16 g \cdot mo l^{- 1}$ , $M_{N} = 14 g \cdot mo l^{- 1}$ ; aides : $1/8, 3 \approx 0, 12$ , $10 \approx 3, 2$ , $1, 4 \times 8, 3 \approx 10$ .

Le capteur (émetteur et récepteur côte à côte) est à $H_{capteur} = 8, 5 m$ du fond du bassin ; à $T_{1} = 2, 9 \cdot 1 0^{2} K$ , $c_{s} = 3, 4 \cdot 1 0^{2} m \cdot s^{- 1}$ . Figure 3 : salve émise et reçue (origine des temps arbitraire).

Figure 3 — Acquisition : pic d'émission vers $t = 0, 000 s$ , pic de réception vers $t = 0, 044 s$ .

Q16. Quelle est la hauteur d'eau $h (t_{mes})$ dans le bassin à l'instant de la mesure (air faiblement dispersif) ?

Corrigé

Q7. L'onde sonore est une petite perturbation de l'état de repos $(ϱ_{0}, P_{0}, T_{0}, v = 0)$ : on suppose $∣ p ~ ∣ ≪ P_{0}$ , $∣ ϱ ~ ∣ ≪ ϱ_{0}$ et $∣ v ~ ∣ ≪ c_{s}$ (vitesse des particules très petite devant la célérité de l'onde). Les champs perturbés sont des infiniment petits du premier ordre : on linéarise toutes les équations en ne gardant que les termes d'ordre 1 (on néglige les produits de deux perturbations). On néglige aussi la pesanteur et la viscosité, et l'évolution des particules de fluide est adiabatique et réversible.

Q8. L'équation locale de conservation de la masse à une dimension s'écrit

$\frac{\partial ϱ}{\partial t} + \frac{\partial ( ϱ v ~ )}{\partial z} = 0.$

Avec $ϱ = ϱ_{0} + ϱ ~$ ( $ϱ_{0}$ uniforme et constant) : $\frac{\partial ϱ ~}{\partial t} + ϱ_{0} \frac{\partial v ~}{\partial z} + \frac{\partial ( ϱ ~ v ~ )}{\partial z} = 0$ . Le dernier terme est d'ordre 2 ; à l'ordre 1 :

$\frac{\partial ϱ ~}{\partial t} + ϱ_{0} \frac{\partial v ~}{\partial z} = 0$

Q9. Dans (1), rapportée à l'unité de volume :

$ϱ \partial v ~ / \partial t$ est le terme d'accélération locale (variation temporelle de la vitesse en un point fixe) ;
$ϱ v ~ \partial v ~ / \partial z$ est le terme d'accélération convective (la particule se déplace dans un champ de vitesse non uniforme), non linéaire ; la somme des deux est $ϱ d v ~ / d t$ , masse volumique fois accélération de la particule ;
$- \partial P / \partial z$ est la résultante volumique des forces de pression ; poids et viscosité sont négligés.

Comparons les deux termes d'accélération pour une onde de pulsation $ω$ et de longueur d'onde $λ = 2 π c_{s} / ω$ : $∣ v ~ \partial v ~ / \partial z ∣ \sim v ~^{2} / λ$ et $∣ \partial v ~ / \partial t ∣ \sim ω v ~ \sim c_{s} v ~ / λ$ ; leur rapport vaut $v ~ / c_{s} ≪ 1$ . De plus $ϱ \partial v ~ / \partial t = ϱ_{0} \partial v ~ / \partial t + ϱ ~ \partial v ~ / \partial t$ , le second terme étant d'ordre 2, et $\partial P / \partial z = \partial p ~ / \partial z$ . À l'ordre 1 :

$ϱ_{0} \frac{\partial v ~}{\partial t} = - \frac{\partial p ~}{\partial z}$

(équation d'Euler linéarisée).

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