Corrigé e3a 2026 Physique-chimie PSI — Partie I.3 (Q17 à Q22) : Turbine Francis : énergie récupérable, bilan de moment cinétique en référentiel tournant, couple et puissance

Sujet officiel du concours e3a, session 2026, épreuve Physique-chimie PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

L'eau descend de la retenue à la turbine par une conduite forcée (figure 12) ; altitude $z$ , $z_{E} = 0$ à l'entrée $E$ de la turbine ; $μ_{e} = 1, 0 \cdot 1 0^{3} kg \cdot m^{- 3}$ .

Figure 12 — Paramétrage de l'installation.

Q17. Bassin parallélépipédique de section $S$ , rempli sur $h_{0}$ , de fond à la hauteur $H$ de l'entrée de la turbine ; conduite amont vide. Évaluer l'énergie maximale convertible en énergie électrique en fonction de $H$ et $h_{0}$ ; pourquoi est-ce un maximum ?

La turbine Francis (figure 4 du sujet) reçoit le débit $D_{v}$ ; sa roue, à admission radiale et sortie axiale, tourne à la vitesse angulaire $ω$ autour de l'axe $(O, u_{z})$ . Écoulement stationnaire, parfait, incompressible dans le référentiel de la roue ; dans la base cylindrique liée à la roue, $V (M) = V_{r} u_{r} + V_{θ} u_{θ} + V_{a} u_{z}$ (figure 5 du sujet). Dans le plan normal à l'axe, $V (M) = U (M) + W (M)$ , où $U$ est la vitesse d'entraînement et $W$ la vitesse relative à l'aube ; $α$ est l'angle non orienté entre $V_{/ /}$ et $U$ , $β$ l'angle non orienté entre $W_{/ /}$ et $U$ (indice $e$ à l'entrée, rayon $R_{e}$ ; indice $s$ à la sortie, rayon $R_{s}$ ).

Figure 6 — Triangles des vitesses à l'entrée et à la sortie d'une aube de la roue Francis.

Hypothèses : aubes d'épaisseur nulle ; veine de hauteur $e_{e}$ (entrée) et $e_{s}$ (sortie) ; admission et éjection sur toute la périphérie, sans composante axiale ; même triangle des vitesses à même rayon.

Q18. Exprimer le débit volumique à l'entrée et à la sortie de la roue en fonction de $V_{r, e}$ , $V_{r, s}$ et de la géométrie.
Q19. Justifier que le référentiel de la roue n'est pas galiléen.

On admet que le moment par rapport à l'axe des forces d'inertie vaut $Γ_{inertie} = - μ_{e} D_{v} ω (R_{s}^{2} - R_{e}^{2})$ .

Q20. Par un bilan de moment cinétique sur un volume de contrôle bien défini, montrer que le couple utile vaut $Γ_{i} = 2 π μ_{e} (R_{e}^{2} V_{r, e} V_{θ, e} e_{e} - R_{s}^{2} V_{r, s} V_{θ, s} e_{s})$ (3).
Q21. Exprimer $U (M)$ et montrer que $V_{θ} = U + \frac{V _{r}}{tan β}$ (4).
Q22. En déduire $Γ_{i}$ et la puissance indiquée $P_{i}$ (fonctions de $D_{v}$ , $ω$ , $R_{e}$ , $R_{s}$ , $β_{e}$ , $β_{s}$ ) ; pourquoi le couple $Γ$ sur l'arbre est-il inférieur à $Γ_{i}$ ?

Corrigé

Q17. Système : l'eau du bassin, de masse $m = μ_{e} S h_{0}$ , dans le référentiel terrestre galiléen, $g$ uniforme. La tranche d'eau située à l'altitude $z$ au-dessus de l'entrée $E$ (avec $H \leq z \leq H + h_{0}$ ) a pour masse $μ_{e} S d z$ et pour énergie potentielle de pesanteur $μ_{e} S g z d z$ (origine en $z_{E} = 0$ ). L'énergie maximale récupérable, obtenue si toute cette eau est amenée jusqu'à $E$ et si toute la baisse d'énergie potentielle est convertie, vaut

$E_{m a x} = \int_{H}^{H + h_{0}} μ_{e} S g z d z = μ_{e} S g \frac{( H + h _{0} ) ^{2} - H ^{2}}{2} = μ_{e} S g h_{0} (H + \frac{h _{0}}{2})$

C'est $m g$ fois la hauteur du centre de masse de l'eau, $H + h_{0} /2$ , au-dessus de l'entrée de la turbine.

C'est un maximum car toute conversion réelle comporte des pertes : dissipation visqueuse dans la conduite forcée (pertes de charge régulières et singulières dans les coudes), énergie cinétique résiduelle de l'eau à la sortie de la turbine, frottements et fuites dans la turbine, pertes de l'alternateur (effet Joule, pertes fer) ; de plus, la conduite étant initialement vide, une partie de l'eau reste dans la conduite en fin de vidange. Le rendement global réel d'une centrale est de l'ordre de $80$ à $90%$ .

Q18. L'écoulement est incompressible et stationnaire : le débit volumique se conserve. À l'entrée, le fluide traverse la surface latérale du cylindre de rayon $R_{e}$ et de hauteur $e_{e}$ , d'aire $2 π R_{e} e_{e}$ (aubes d'épaisseur nulle, admission sur toute la périphérie) ; seule la composante radiale de la vitesse, uniforme sur cette surface par hypothèse, contribue au flux. En notant $V_{r, e}$ et $V_{r, s}$ les normes des composantes radiales (l'écoulement est centripète, $V \cdot u_{r} = - V_{r} < 0$ ) :

$D_{v} = 2 π R_{e} e_{e} V_{r, e} = 2 π R_{s} e_{s} V_{r, s}$

C'est avec cette convention ( $V_{r} > 0$ ) que les expressions (3) et (4) de l'énoncé sont cohérentes.

Q19. Le référentiel terrestre est supposé galiléen. Le référentiel lié à la roue est en rotation uniforme à la vitesse angulaire $ω$ autour d'un axe fixe par rapport au référentiel terrestre ; il n'est donc pas en translation rectiligne uniforme par rapport à lui, et n'est pas galiléen : il faut y ajouter les forces d'inertie d'entraînement (centrifuge, $m ω^{2} r u_{r}$ ) et de Coriolis ( $- 2 m ω u_{z} \land W$ ).

Q20. Volume de contrôle. On choisit le volume $(V)$ fixe dans le référentiel de la roue : l'espace annulaire compris entre les cylindres de rayons $R_{s}$ et $R_{e}$ , limité par les flasques de la roue, qui contient l'eau circulant entre les aubes (les aubes elles-mêmes en sont exclues). Sa surface de contrôle comprend la surface d'entrée (cylindre de rayon $R_{e}$ , hauteur $e_{e}$ ), la surface de sortie (cylindre de rayon $R_{s}$ , hauteur $e_{s}$ ) et des parois imperméables (flasques, faces des aubes). Dans ce référentiel l'écoulement est stationnaire : le moment cinétique contenu dans $(V)$ est constant.

100 % gratuit

La suite du corrigé est sur Adloun

Le corrigé rédigé en entier, question par question, et le tuteur pour poser des questions sur ce sujet.

Voir le corrigé complet, gratuitement

Inscription gratuite en 30 secondes (e-mail, nom d'utilisateur, mot de passe, classe ou profil), sans carte bancaire : arrivée directe sur le corrigé.

Toutes les parties de l'épreuve

Corrigé complet gratuit →