Corrigé e3a 2026 Physique-chimie PSI — Partie II (Q23 à Q33) : Transformateur idéal, tracé d'un cycle d'hystérésis (intégrateur à ALI), ARQS et transport sous haute tension

Sujet officiel du concours e3a, session 2026, épreuve Physique-chimie PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

II.1 Transformateur de tension.

Circuit magnétique torique (rayon moyen $a$ , section $S$ , $a ≫ S$ ), linéaire, sans fuites ( $μ_{r}$ grand), non conducteur ; enroulements parfaits de $N_{1}$ (primaire) et $N_{2}$ (secondaire) spires ; champ $B (t)$ (figure 7 : $i_{1}$ et $i_{2}$ entrent par les points).

Figure 7 — Transformateur.

Q23. Fonctionnement possible en continu ? Pourquoi ?
Q24. Rappeler l'équation de Maxwell-Thomson ; que dire du flux magnétique à travers chaque section droite du tore ?
Q25. Rappeler l'équation de Maxwell-Faraday ; en déduire $u_{2} (t)$ en fonction de $u_{1} (t)$ , $N_{1}$ , $N_{2}$ (loi des tensions).
Q26. Secondaire en charge : théorème d'Ampère dans ce milieu (ARQS) ; en déduire $i_{2} (t)$ en fonction de $i_{1} (t)$ , $N_{1}$ , $N_{2}$ (loi des intensités).
Q27. Rendement du transformateur idéal ? Pertes réelles et rendements usuels ?

II.2 Tracé d'un cycle d'hystérésis (TP).

Générateur sinusoïdal $e (t)$ à $f = 50 Hz$ (le texte du sujet l'appelle $u_{e} (t)$ , nom que la figure 8 donne à l'entrée du montage à ALI ; on suit la figure) ; on enregistre $u_{r} (t)$ (aux bornes de $r$ ) et $u_{s} (t)$ (sortie d'un ALI idéal linéaire) ; $N_{1} \approx N_{2}$ ; $R = 470 kΩ$ , $C = 47 nF$ (figure 8).

Figure 8 — Schéma du montage réalisé.

Q28. Propriétés d'un ferromagnétique doux ? Allure de son cycle d'hystérésis, avec $H_{c}$ (excitation coercitive) et $B_{r}$ (champ rémanent) ; ordre de grandeur de $H_{c}$ ?
Q29. Établir l'impédance d'entrée $Z_{e} = - u_{e} / i$ du montage à ALI. Hypothèse raisonnable sur $i_{2} (t)$ ? Montrer que $u_{r} (t) = K H (t)$ et exprimer $K$ .
Q30. Établir $H (i ω) = u_{s} / u_{e}$ et la mettre sous la forme $H = H_{0} / (1 + i ω / ω_{0})$ .
Q31. Quelle fonction ce montage réalise-t-il ici ? Montrer que $u_{s} (t) = K^{'} B (t)$ , $K^{'}$ fonction de $N_{2}$ , $S$ , $R$ , $C$ . Intérêt de l'étage 1 ?

II.3 Couplage au réseau.

Ligne aérienne de $400 kV$ (figure 9).

Figure 9 — Distribution de l'énergie électrique.

Q32. Célérité des ondes électrocinétiques dans un câble coaxial (ordre de grandeur) ? L'ARQS est-elle valable ici ? Justifier numériquement.

Chez l'abonné : $u_{EDF} = 2 U_{e,eff} cos (2 π f t)$ , $i_{EDF} = 2 I_{e,eff} cos (2 π f t + φ)$ .

Q33. $U_{e,eff}$ d'une prise standard ? Puissance moyenne $P (φ)$ ? Pourquoi un facteur de puissance proche de 1 et une très haute tension de transport ?

Corrigé

Q23. Non. Le transformateur fonctionne par induction : c'est la variation du flux commun $Φ (t)$ qui crée les tensions aux bornes des enroulements ( $u = N d Φ/ d t$ , voir Q25). En régime continu, le flux est constant : aucune tension n'apparaît au secondaire, aucune puissance n'est transférée. Pire, l'enroulement primaire, de résistance nulle, se comporte en continu comme un court-circuit : le courant n'est limité que par le générateur, et le circuit magnétique sature.

Q24. Équation de Maxwell-Thomson (conservation du flux) : $div B = 0$ ; le flux de $B$ à travers toute surface fermée est nul. Appliquons-la à la surface fermée formée de deux sections droites quelconques du tore et de la portion de surface latérale du tore comprise entre elles. Les fuites étant négligées ( $μ_{r}$ grand), les lignes de champ restent dans le tore et le flux à travers la surface latérale est nul : le flux sortant par une section est égal au flux entrant par l'autre. Le flux magnétique $Φ (t)$ à travers une section droite (orientée dans le sens du parcours du tore) est donc le même pour toutes les sections ; comme $a ≫ S$ , $B$ est quasi uniforme sur une section et $Φ (t) = B (t) S$ .

Q25. Équation de Maxwell-Faraday : $rot E = - \frac{\partial B}{\partial t}$ . Par le théorème de Stokes, la circulation de $E$ le long d'un contour fermé qui suit le fil de l'enroulement primaire puis se referme entre ses bornes est égale à $- \frac{d Φ _{tot}}{d t}$ , où $Φ_{tot} = N_{1} Φ$ est le flux à travers les $N_{1}$ spires (loi de Faraday). Le fil étant parfait ( $E = 0$ dans le conducteur), seule la portion entre les bornes contribue : en convention récepteur, le courant entrant par la borne pointée,

$u_{1} (t) = N_{1} \frac{d Φ}{d t}, et de m e ˆ me u_{2} (t) = N_{2} \frac{d Φ}{d t},$

le même flux $Φ$ traversant les deux enroulements (Q24) et les bornes pointées étant homologues. D'où la loi de transformation des tensions

$u_{2} (t) = \frac{N _{2}}{N _{1}} u_{1} (t) = m u_{1} (t) (m = N_{2} / N_{1} rapport de transformation) .$

Q26. Dans l'ARQS magnétique, le théorème d'Ampère dans un milieu magnétique s'écrit avec l'excitation $H = B / (μ_{0} μ_{r})$ : la circulation de $H$ le long d'un contour fermé orienté est égale à l'intensité des courants libres (de conduction) enlacés, $\oint_{C} H \cdot d ℓ = I_{enlac e ˊ}$ . Prenons pour $C$ la ligne moyenne du tore (cercle de rayon $a$ ), sur laquelle $H$ est tangent et de norme uniforme : elle est traversée $N_{1}$ fois par $i_{1}$ et $N_{2}$ fois par $i_{2}$ , les deux courants entrant par les bornes homologues créant des flux de même sens :

$H (t) 2 π a = N_{1} i_{1} (t) + N_{2} i_{2} (t) .$

Pour le transformateur idéal, $μ_{r} \to \infty$ à $B$ fini, donc $H = B / (μ_{0} μ_{r}) \to 0$ : $N_{1} i_{1} + N_{2} i_{2} = 0$ , et la loi de transformation des intensités s'écrit

$i_{2} (t) = - \frac{N _{1}}{N _{2}} i_{1} (t)$

avec les orientations de la figure 7 ( $i_{2}$ entrant par le point). En orientant $i_{2}$ sortant par le point (convention récepteur pour la charge), on retrouve la forme usuelle $i_{2} = i_{1} / m$ .

Q27. La puissance reçue par le transformateur à chaque instant est

$p (t) = u_{1} i_{1} + u_{2} i_{2} = u_{1} i_{1} + \frac{N _{2}}{N _{1}} u_{1} (- \frac{N _{1}}{N _{2}} i_{1}) = 0 :$

toute la puissance reçue par le primaire est fournie à la charge par le secondaire (rien n'est ni dissipé ni stocké), le rendement vaut $η = 1$ . Les pertes réelles sont :

les pertes cuivre : effet Joule dans les enroulements de résistance non nulle ;
les pertes fer : pertes par hystérésis (proportionnelles à l'aire du cycle et à la fréquence) et par courants de Foucault dans le circuit magnétique conducteur (réduites par le feuilletage) ;
les fuites magnétiques et le courant magnétisant ( $μ_{r}$ fini), qui dégradent aussi le fonctionnement.

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