Corrigé e3a 2026 Physique-chimie PSI — Question préliminaire et Partie I.1 (Q1 à Q6) : Puissance hydraulique par client, champ de gravitation (théorème de Gauss) et poussée de l'eau sur un barrage poids

Sujet officiel du concours e3a, session 2026, épreuve Physique-chimie PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Le sujet étudie l'hydroélectricité en région PACA. En 2022, les centrales hydroélectriques françaises ont produit $49, 6 TW \cdot h$ ; EDF compte environ $40$ millions de clients (aide au calcul : $1/365 \approx 3 \cdot 1 0^{- 3}$ ).

Q1. Évaluer l'ordre de grandeur de la puissance électrique moyenne d'origine hydraulique produite par client en 2022.

La Terre est une boule de rayon $R_{T} = 6, 4 \cdot 1 0^{3} km$ , de masse $M_{T} = 6, 0 \cdot 1 0^{24} kg$ , de masse volumique $μ_{T}$ uniforme ; $G = 6, 7 \cdot 1 0^{- 11} m^{3} \cdot k g^{- 1} \cdot s^{- 2}$ .

Q2. Rappeler les forces électrostatique (charges $q_{1}$ , $q_{2}$ ) et gravitationnelle (masses $m_{1}$ , $m_{2}$ ) entre deux points distants de $r$ ; énoncer par analogie le théorème de Gauss gravitationnel et en déduire le champ $G (M)$ créé par la Terre en un point extérieur.
Q3. Exprimer le champ de pesanteur $g_{T}$ au sol, puis $g (h)$ pour une altitude $h ≪ R_{T}$ par un développement limité ; en déduire l'altitude $h_{m a x}$ sous laquelle la variation relative de $g$ reste inférieure à $0, 1%$ .
Q4. Que penser du champ de pesanteur à l'échelle d'un barrage de quelques dizaines de mètres ?

Le barrage poids d'Isola 2000 a pour longueur $L = 605 m$ (selon $u_{y}$ ), pour hauteur $H = 15 m$ ; la retenue contient $130 \cdot 1 0^{3} m^{3}$ . Sa section est un trapèze (figure 1) ; l'eau, incompressible de masse volumique $μ_{e} = 1, 0 \cdot 1 0^{3} kg \cdot m^{- 3}$ , affleure le sommet du barrage ; l'axe $(O z)$ est vertical descendant, d'origine à la surface libre ; l'air est à la pression uniforme $P_{0} = 1, 0 bar$ ; $g = 9, 8 m \cdot s^{- 2}$ uniforme.

Figure 1 — Un barrage poids de forme trapézoïdale.

Q5. Établir la loi $P (z)$ dans l'eau.
Q6. Déterminer la résultante des forces pressantes exercées par l'eau sur le barrage et évaluer l'ordre de grandeur de sa norme pour Isola 2000 (aide : $6, 05 \times 15 \sim 9 \cdot 1 0^{1}$ ).

Corrigé

Q1. Sur un an, $Δ t = 365 \times 24 h$ . La puissance électrique moyenne d'origine hydraulique est $P_{tot} = E /Δ t$ , et par client

$P_{client} = \frac{E}{N _{clients} Δ t} = \frac{49 , 6 \cdot 1 0 ^{12} W \cdot h}{4 , 0 \cdot 1 0 ^{7} \times 365 \times 24 h} .$

Avec $1/365 \approx 3 \cdot 1 0^{- 3}$ : $P_{tot} \approx 5 \cdot 1 0^{13} \times 3 \cdot 1 0^{- 3} /24 \approx 6 \cdot 1 0^{9} W$ , soit

$P_{client} \approx \frac{6 \cdot 1 0 ^{9}}{4 \cdot 1 0 ^{7}} \approx 1, 5 \cdot 1 0^{2} W$

(le calcul exact donne $1, 4 \cdot 1 0^{2} W$ ). L'ordre de grandeur est la centaine de watts par client, en permanence : c'est de l'ordre de la consommation moyenne d'un réfrigérateur. Rapportée à chaque client, la production électrique totale (industrie comprise) est de l'ordre du kilowatt : la part hydraulique en est environ $10%$ , cohérent avec les $11%$ annoncés. On remarque aussi que $P_{tot} \approx 5, 7 GW$ n'est que $22%$ de la puissance installée ( $25, 9 GW$ ) : les centrales ne turbinent pas en permanence.

Q2. Loi de Coulomb. La force exercée par $q_{1}$ (en $M_{1}$ ) sur $q_{2}$ (en $M_{2}$ ), avec $u_{12} = M_{1} M_{2} / r$ , vaut

$F_{1 \to 2} = \frac{q _{1} q _{2}}{4 π ε _{0} r ^{2}} u_{12} .$

Loi de la gravitation universelle. De même

$F_{1 \to 2} = - G \frac{m _{1} m _{2}}{r ^{2}} u_{12},$

toujours attractive. Le passage de l'une à l'autre se fait par l'analogie $q \leftrightarrow m$ et $\frac{1}{4 π ε _{0}} \leftrightarrow - G$ , soit $\frac{1}{ε _{0}} \leftrightarrow - 4 π G$ ; le champ électrostatique $E$ a pour analogue le champ gravitationnel $G$ (force $m G$ ).

Théorème de Gauss gravitationnel. Le théorème de Gauss $\oint \oint_{Σ} E \cdot d S = Q_{int} / ε_{0}$ devient : le flux du champ gravitationnel à travers toute surface fermée $Σ$ orientée vers l'extérieur vaut

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