Corrigé e3a 2026 Physique et chimie PC — Chimie, Problème 2, Partie II (Q37 à Q43) : Cinétique de racémisation de l'acide aspartique : équilibre opposé d'ordre 1, constante de vitesse

Sujet officiel du concours e3a, session 2026, épreuve Physique et chimie PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

L'acide (L)-aspartique est le stéréoisomère naturellement présent dans les protéines (figure 3 ; le groupe $NH X_{2}$ est en avant du plan).

{Figure 3 — Acide L-aspartique.}

Q37. Descripteur stéréochimique de l'acide (L)-aspartique.

Après la mort, la racémisation $L ⇌ D$ (constantes de vitesse $k_{1}$ dans le sens direct, $k_{- 1}$ dans le sens inverse) suit une cinétique d'ordre 1 pour chaque sens.

Q38. Équation différentielle vérifiée par $[L]$ , en fonction de $[D]$ , $k_{1}$ , $k_{- 1}$ .
Q39. Définition d'un mélange racémique ; relation entre $[D]_{\infty}$ et $[L]_{\infty}$ en fin de racémisation.
Q40. Montrer que $k_{1} = k_{- 1}$ (noté $k$ ).
Q41. Montrer que $\frac{d [ L ]}{d t} + 2 k [L] = 2 k [L]_{\infty}$ .

On admet qu'avec $r = [D] / [L]$ : $ln \frac{1 - r}{1 + r} = ln \frac{1 - r _{0}}{1 + r _{0}} - 2 k t$ .

Document 8. Racémisation à $6 5^{\circ} C$ (dentine de dents d'ours) :

$r$	0,052	0,063	0,088	0,184	0,165	0,255	0,267	0,348	0,333
$t$ (h)	24	48	108	240	432	672	864	936	1 272

{Document 8 — Tableau et graphe fournis (l'ordonnée tracée est discutée en Q42).}

Q42. Montrer la compatibilité avec un ordre partiel 1 par rapport à l'acide L-aspartique ; déterminer $k_{65}$ .
Q43. Durée au bout de laquelle un échantillon à $6 5^{\circ} C$ est racémisé à $99%$ (annexe 1 : graphes de $ln x$ sur $] 0; 0, 1]$ et sur $] 0; 2]$ ).

{Annexe 1 — Tracé de $ln x$ (aide au calcul).}

Corrigé

Q37. Le carbone asymétrique porte $NH X_{2}$ , $COOH$ , $CH X_{2} COOH$ et H. Priorités (règles de Cahn, Ingold et Prelog, par numéros atomiques des atomes liés) : $NH X_{2}$ (N, $Z = 7$ ) $>$ $COOH$ (C lié à (O,O,O)) $>$ $CH X_{2} COOH$ (C lié à (C,H,H)) $>$ H.

Sur la figure 3, $NH X_{2}$ pointe vers l'observateur (coin plein) ; H, non représenté, pointe donc vers l'arrière : on regarde la molécule dans le bon sens (H loin de l'œil). En allant de $NH X_{2}$ (en bas) vers $COOH$ (en haut à droite) puis vers $CH X_{2} COOH$ (en haut à gauche), on tourne dans le sens inverse des aiguilles d'une montre : le descripteur est $S$ . L'acide L-aspartique est l'acide (S)-2-aminobutanedioïque.

Q38. Les deux actes, d'ordre 1, ont pour vitesses $v_{1} = k_{1} [L]$ et $v_{- 1} = k_{- 1} [D]$ . L'acide L est consommé par le sens direct et formé par le sens inverse (loi de vitesse d'un équilibre opposé) :

$\frac{d [ L ]}{d t} = - k_{1} [L] + k_{- 1} [D] .$

Q39. Un mélange racémique est un mélange équimolaire de deux énantiomères ; il est optiquement inactif (pouvoirs rotatoires opposés qui se compensent). En fin de racémisation, le mélange est racémique :

$[D]_{\infty} = [L]_{\infty} .$

Ce que le correcteur attend : le mot « énantiomères » (et non « stéréoisomères »).

Q40. Quand $t \to \infty$ , le système atteint l'équilibre : $\frac{d [ L ]}{d t} = 0$ , d'où, d'après Q38, $k_{1} [L]_{\infty} = k_{- 1} [D]_{\infty}$ . Avec Q39, $[D]_{\infty} = [L]_{\infty} \neq = 0$ , donc

$k_{1} = k_{- 1} = k .$

C'est cohérent avec la thermodynamique : deux énantiomères ont la même enthalpie libre standard, la constante d'équilibre $K^{\circ} = k_{1} / k_{- 1}$ vaut $1$ .

Q41. Conservation de la matière : la racémisation transforme L en D sans rien créer ni détruire, donc $[L] + [D] = [L]_{0} + [D]_{0} = C$ à tout instant ; en particulier $C = [L]_{\infty} + [D]_{\infty} = 2 [L]_{\infty}$ . En reportant $[D] = 2 [L]_{\infty} - [L]$ dans Q38 avec $k_{1} = k_{- 1} = k$ :

$\frac{d [ L ]}{d t} = - k [L] + k (2 [L]_{\infty} - [L]) ⟹ \frac{d [ L ]}{d t} + 2 k [L] = 2 k [L]_{\infty} .$

Vérification de la solution admise. $[L] - [L]_{\infty} = ([L]_{0} - [L]_{\infty}) e^{- 2 k t}$ . Or $\frac{1 - r}{1 + r} = \frac{[ L ] - [ D ]}{[ L ] + [ D ]} = \frac{2 ([ L ] - [ L ] _{\infty} )}{C}$ : ce rapport décroît en $e^{- 2 k t}$ , d'où la relation logarithmique de l'énoncé.

100 % gratuit

La suite du corrigé est sur Adloun

Le corrigé rédigé en entier, question par question, et le tuteur pour poser des questions sur ce sujet.

Voir le corrigé complet, gratuitement

Inscription gratuite en 30 secondes (e-mail, nom d'utilisateur, mot de passe, classe ou profil), sans carte bancaire : arrivée directe sur le corrigé.

Toutes les parties de l'épreuve

Corrigé complet gratuit →